Лабораторные работы (man4)

Посмотреть архив целиком

Основные положения



Пусть (x1,...,xn) x - n независимых наблюдений над случайной величиной с законом распределения F(z/a), зависящим от параметра a, значение которого неизвестно.

Определение 1. Функция наблюдений a1(x1,...,xn) (заметим, что это случайная величина) называется нижней доверительной границей для параметра a с уровнем доверия РД (обычно близким к 1), если при любом значении

P{ a1(x1,...,xn) a} PД

Определение 2. Функция наблюдений a2(x1,...,xn) (случайная величина) называется верхней доверительной границей для параметра с уровнем доверия РД , если при любом значении

P{ a2(x1,...,xn) a } PД .

Определение 3. Интервал со случайными концами (случайный интервал)

I(x) = ( a1(x), a2(x) ) ,

определяемый двумя функциями наблюдений, называется доверительным интервалом для параметра a с уровнем доверия РД , если при любом значении a

P{ I(x) a } P{ a1(x1,...,xn) a a2(x1,...,xn) } PД ,

т.е. вероятность (зависящая от a) накрыть случайным интервалом I(x) истинное значение a - велика: больше или равна РД.























Задание.

1. Определить, сколько раз из k =50 доверительный интервал оказался неверным; сделать это для трех значений РД.

2. Провести аналогично 50 испытаний доверительного интервала для случая неизвестной дисперсии.



Генерируем k=50 выборок по n=10 наблюдений, нормально распределённых с параметрами: среднее а = 10, дисперсия 2 = 4.



Достаточной оценкой для а является

â = â(x,...,xn) = ,

распределенная по закону N(a, ).

Доверительным интервалом для среднего а с уровнем доверия РД при известной дисперсии является интервал I( x1, ... , xn) =(a1( x1, ... , xn), a2( x1, ... , xn)), где


, ,

fp - квантиль порядка (1+ РД )/2 распределения N(0,1).








1. РД=0,95; fp=1,65.



Результаты k = 50 испытаний доверительного интервала представим графически:


Доверительный интервал оказался неверным в 4 случаях из 50.


РД=0,995; fp=2,58.


Доверительный интервал оказался неверным в 0 случаях из 50.

РД=0,9995; fp=3,29.


Доверительный интервал оказался неверным в 0 случаях из 50.



2. Пусть х1, … ,хn - выборка из нормального N(a,2) распределения; значения среднего а и дисперсии 2 неизвестны. Оценки для а и 2:

, . (7)

Доверительным интервалом для среднего а с уровнем доверия РД при неизвестной дисперсии является интервал I(x) = (a1(х), a2(х) ),

где , ,

tp - квантиль порядка (1+ РД)/2 распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы.



РД=0,95; fp=1,83.


Доверительный интервал оказался неверным в 4 случаях из 50.


РД=0,995; fp=3,24.



Доверительный интервал оказался неверным в 0 случаях из 50.


РД=0,995; fp=4,78.



Доверительный интервал оказался неверным в 0 случаях из 50.










Интервалы для параметров нормального распределения

Пусть х1, … ,хn - выборка из нормального N(a,2) распределения; значения среднего а и дисперсии 2 неизвестны. Оценки для а и 2:

, .

Как известно, доверительным интервалом для среднего а с уровнем доверия РД при неизвестной дисперсии является интервал

I(x) = (a1(х), a2(х) ), (1)

где , , (2)

tp - квантиль порядка (1+ РД)/2 распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы.

Доверительным интервалом для стандартного отклонения с уровнем доверия РД является интервал

I (x)=(1(х), 2(х)) ,

где , ,

t1 и t2- квантили порядков соответственно (1+ РД)/2 и (1- РД)/2 распределения хи-квадрат с n-1 степенями свободы.


Сгенерируем выборку объема n=20 из нормального распределения с параметрами a =10, 2=22=4 и определим доверительные интервалы для a и с уровнем доверия РД : 0.8 , 0.9 , 0.95 , 0.98 , 0.99 , 0.995 , 0.998 , 0.999. Результаты выпишем в виде таблицы. C ростом РД интервал расширяется, с ростом n - уменьшается.

Если нас интересуют не интервалы, а верхние или нижние доверительные границы, то, как известно, они определяются теми же формулами (1) и (2), однако, значения порогов t изменяются. Например, нижней доверительной границей для a с уровнем доверия РД является значение

,

где tp - квантиль порядка РД распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы, а верхней границей для с уровнем доверия РД является

,

где t2 - квантиль порядка 1- РД распределения хи-квадрат с n-1 степенями свободы.

Задание: определить верхние доверительные границы для а и с уровнем доверия РД = 0.95 .


Выборка:

Доверительные интервалы для а:



Доверительные интервалы для :


РД

0,80

1,375

2,101

0,90

1,306

2,254

0,95

1,251

2,403

0,98

1,192

2,595

0,99

1,154

2,741



Верхняя доверительная граница для а с уровнем доверия РД = 0.95 :

, где tp - квантиль порядка (1+ РД)/2 распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы.

Для нашей выборки