Лабораторные работы (Лабораторная работа №2)

Посмотреть архив целиком







Лабораторная работа №2

по курсу «Теория вероятностей

и математическая статистика»














Выполнил : студент группы А-13-03
Орлов Алексей Васильевич





Москва 2006



  1. Выборки и их представление

Основные понятия

Напомним, что такое выборка, вариационный ряд, эмпирическое распределение, группирование, гистограмма, выборочные характеристики и др.

Выборкой х1, ..., хn объема n из совокупности, распределенной по F(х), называется n независимых наблюдений над случайной величиной с функцией распределения F(x).

Вариационным рядом х(1) х(2) ... х(n) называется выборка, записанная в порядке возрастания ее элементов.

Каждому наблюдению из выборки присвоим вероятность, равную 1/n; получим распределение, которое называют эмпирическим; ему соответствует функция эмпирического распределения

= ,

где n(х) - число членов выборки, меньших х. Значение этой функции для статистики определяется тем, что при n

F(x)

(теорема Гливенко).

Выборки больших объемов труднообозримы; разобъем диапазон значений выборки на равные интервалы и подсчитаем для каждого интервала частоту- количество наблюдений, попавших в него; частоты, отнесенные к общему числу наблюдений n, называют относительными частотами; графическое представление распределения частот по интервалам гистограммой; накопленной частотой для данного интервала называют сумму частот данного интервала и всех тех, что левее его.

Числовые характеристики эмпирического распределения называются выборочными характеристиками: выборочные среднее (математическое ожидание), дисперсия:

= , s2=

выборочный момент порядка к:

mk = ;

выборочные квантили p порядка р - корни уравнения

F(p)=p,

которыми являются члены вариационного ряда

(p)=([np]+1),

где [nр] означает целую часть ; частным случаем (p = 0.5) является выборочная медиана - центральный член вариационного ряда. Значение выборочных характеристик состоит в том, что при n они стремятся к истинным значениям распределения F(х).

Приведем с помощью пакетов примеры. Исходные данные находятся в табл.1 ( E(a) в таблице означает показательное (экспоненциальное) распределение с математическим ожиданием, равным a).

таблица1

¹

Закон

n

¹

Закон

n

1

R [0, 2]

50

0.03

14

N (1,4)

60

0.01

2

N(2, 0.25)

60

0.02

15

E (5)

70

0.03

3

E (3)

70

0.01

16

R [0.3]

80

0.1

4

R [1, 3]

80

0.02

17

N (1,4)

50

0.3

5

N (1, 1)

50

0.01

18

E (1)

60

0.2

6

E (2)

60

0.03

19

R [1,3]

70

0.03

7

R [2, 3]

70

0.01

20

N (1,1)

80

0.02

8

N (0, 4)

80

0.03

21

E (2)

50

0.01

9

E (3)

50

0.02

22

R [2,3]

60

0.02

10

R [0, 2]

60

0.03

23

N (2,1)

70

0.01

11

N [2, 1]

70

0.02

24

E (3)

80

0.03

12

E (4)

80

0.01

25

R [1,2]

50

0.01

13

R [1, 2]

50

0.02







Сгенерируем выборку объема n =50 с показательным распределением со средним значением 3.


Посмотрим выборку графически:




Построение вариационного ряда

наблюдаем вариационный ряд и выборочное среднее (mean) и стандартное отклонение ( SD ).