Лабораторные работы (Лабораторная работа №1)

Посмотреть архив целиком







Лабораторная работа №1

по курсу «Теория вероятностей

и математическая статистика»














Выполнил : студент группы А-13-03
Орлов Алексей Васильевич





Москва 2006



1. Теорема Бернулли.


Если проводится n независимых испытаний случайного события A, вероятность которого P(A) = p, то относительная частота /n появления события A ( число появлений A) при большом n приближенно равна вероятности p:

.

Другими словами, при .


будем писать

при ,

если для любого >0 и для достаточно больших n соотношение

(1)

выполняется с вероятностью, стремящейся к 1 с ростом n; запишем это так:

при .

В этом состоит теорема Бернулли. Заметим, что теорема не утверждает, что соотношение (1) достоверно, однако, если n достаточно велико, то вероятность его выполнения близка к 1 (например, 0.98 или 0.999), что практически достоверно. Если собираемся провести эксперимент, состоящий из этого достаточно большого числа n испытаний, то можем быть уверены, что соотношение (1) будет выполнено.


Пример / Задача. Бросание симметричной монеты.

Вероятность появления герба p=0.5. можно показать (с помощью центральной предельной теоремы), что, например, если n (1.5/)2, то соотношение (1) выполняется с вероятностью 0.997, а если n (1.3/)2, то с вероятностью 0.99; последняя в данном случае нас вполне устраивает как практическая достоверность. Положим = 0.1; тогда соотношение

| / n - 0.5 | < 0.1 (a)

выполняется с вероятностью 0.99 при n170. если =0.03, то соотношение

| / n - 0.5 | < 0.03 (б)

выполняется с вероятностью 0.99 при n 1850. Мы уверены, что, проведя 170 бросаний монеты, получим (а), а, проведя 1850 бросаний, получим (б).




Бросание монеты моделируем генерацией случайной величины , принимающей значения 1 ("герб") и 0 ("цифра") с вероятностями 1/2. Число появлений "герба" в n испытаниях

,

где k- результат k-го испытания.


|0.447 – 0.5| < 0.1


|0.502 – 0.5| < 0.03





2. Закон больших чисел в форме Чебышева


Основное утверждение

Одно из основных утверждений закона больших чисел состоит в том, что значение среднеарифметического случайных величин с равными математическими ожиданиями при большом n (при некоторых широких условиях) оказывается приближенно равным a:

уточним: будем писать

при ,

если для любого >0 и достаточно больших n соотношение

(2)

выполняется с вероятностью, стремящейся к 1 с ростом n; запишем это так:

при n .

это одно из утверждений закона больших чисел. Заметим, что, как и теорема Бернулли, оно не означает, что соотношение (2) достоверно; однако, если n достаточно велико, то вероятность его выполнения близка к 1, например, 0.98 или 0.999, что означает практически достоверно. Приведем полную формулировку одной из теорем закона больших чисел в форме Чебышева,

Теоремы Чебышева. Если - последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной:

,

то для любого >0

при .

Испытание практически достоверного события


Убедимся в выполнении (2) статистически, выполнив задание 1.

Задание 1: Случайные величины распределены равномерно на отрезке [0,1]. Если значение задавать произвольно, а число испытаний выбирать из условия n (9D/2), то (как нетрудно показать) соотношение (2) выполняется с вероятностью P=0.997, а если n (5.4D/2) - то с P=0.98. Последняя нас устраивает, как практическая достоверность.

Положим 1 =0.1 и 2 =0.02, определим два соответствующих значения n1 =45 и n2 =1125, и проверим (2) экспериментально (в нашем случае a=0.5).




|0.502 – 0.5| < 0.1

|0.5 – 0.5| < 0.03


Задание 2. Проверить (2) экспериментально для экспоненциально распределенных слагаемых с M=1. Принять 1 =0.2 и 2 =0.05. Соответствующие значения n1 = 135 и n2 = 2160.





|1.081 – 1| < 0.1


|0.997 – 1| < 0.02




Задание 3. Проверка невыполнения закона больших чисел на величине, распределенной по закону Коши.



Рассмотрим случайную величину, распределенную по закону Коши с плотностью

(3)

Заметим, что плотность симметрична относительно нуля, однако, 0 не является математическим ожиданием; это распределение не имеет математического ожидания. Напомним, что математическим ожиданием называется , если ; последнее, очевидно, для распределения Коши не выполняется. Для последовательности независимых случайных величин, распределенных по закону Коши (3), закон больших чисел не выполняется. Если бы среднеарифметическое сходилось с ростом n к какой-либо константе, то, в силу симметрии распределения, такой константой мог быть только 0. Однако, 0 не является точкой сходимости. Действительно, можно показать, что при любом >0 и при любом сколь угодно большом n

(4)

с вероятностью arctg . (Поясним сказанное: с помощью характеристических функций легко показать, что распределена по (3), а функция распределения для (3) есть arctg x). Эта вероятность, как видно, не стремится к 0 с ростом n. Например, если = 0.03, то вероятность выполнения (4) равна приближенно P 0.98, т.е. событие (4) практически достоверно, и можно уверенно ожидать его выполнения с одного раза. Если =1, то вероятность (4) равна 0.5, и выполнение его хотя бы раз можно уверенно ожидать, проделав 7 экспериментов (т.к. вероятность невыполнения ни разу равна (0.5)7 = 1/128). И это при любом фиксированном n, например, n = 1000. Проверим это экспериментально.

Учтем, что, если случайная величина X распределена равномерно на отрезке длины , то случайная величина

Y = tg X (5)

имеет плотность (3).












Сгенерируем 7 выборок объемом n=1000 и проверим (4) при =1.





Убеждаемся, что только всего в двух выборках среднее значение по модулю меньше 1.



Посмотрим на график выборки (200) из распределения Коши для первой с.в.