Материалы по всему курсу схемотехники (необработанное) (2.1.1.2 Системы счисления в цифровой электронике)

Посмотреть архив целиком

Системы счисления в цифровой электронике


Все современные системы счисления (кроме некоторых римских цифр) являются позиционными, т.е. в них одна и та же цифра в разных позициях (слева, справа) имеет разное значение. Например в десятичном числе 55 левая цифра означает 50, а правая – только 5. В общем виде в позиционной системе счисления с основанием системы Х число А можно представить в виде:



где n – количество разрядов числа А, аi – коэффициенты каждого разряда, которые могут принимать значения от 0 до Х – 1.

При необходимости основание системы счисления указывается внизу после числа в виде нижнего индекса.


ПРИМЕРЫ:

1. Четырехразрядное десятичное число:


568510 = 5103 + 6102 + 8101 + 5100 ,


где Х = 10 – основание системы счисления, а0 = 5, а1 = 8, а2 = 6,

а3 = 5 – коэффициенты в каждом разряде, n = 4 – количество разрядов числа А.

2. Трехразрядное восьмеричное число:


3728 = 382 + 781 + 280 = 10610


где Х = 8 (восьмеричная система счисления), коэффициенты в разрядах числа A а0 = 2, а1 = 7, а2 = 3; n = 3 – количество разрядов числа А.

3. Двухразрядное шестнадцатеричное число:


4E16 = 4161 + 14160 = 7810


где Х = 16 (шестнадцатеричная система счисления), коэффициенты в разрядах числа А а0 = E = 14, а1 = 4 (шестнадцатеричные цифры от 0 до 9 записываются так же, как и соответствующие десятичные цифры, а шестнадцатеричные цифры 10,11,12,13,14,15 записываются заглавными латинскими буквами А,В,С,D,Е,F соответственно); n = 2 – количество разрядов числа А.

4. Четырехразрядное двоичное число:


11012 = 123 + 122 + 021 + 120 = 1310


где X = 2 – двоичная система счисления, коэффициенты в разрядах числа А а0 = 1, а1 = 0, а2 = 1, а3 = 1, n = 4 – количество разрядов числа А.


Двоичную цифру, которая может принимать только два значения: 0 или 1, называют "бит", происходящее от сокращения BIT английских слов BI NARY DIGI T – "двоичная цифра".


Десятичная система, к которой мы привыкли, основана на количестве пальцев рук и для применения в цифровой технике неудобна. В цифровой аппаратуре устройства обычно имеют два рабочих состояния и в них применяют двоичную систему счисления. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления являются как бы компромиссными между двоичной и десятичной системами счисления и применяются в вычислительной технике из–за удобства представления больших двоичных чисел.

Преобразовать десятичное число в двоичное можно путем деления на 2 сначала самого числа, а затем каждого промежуточного частного; при этом каждый неделимый остаток дает очередную цифру соответствующего разряда искомого двоичного числа. Первый полученный таким образом остаток даст цифру младшего разряда, а последний – старшего разряда двоичного числа. Например, десятичное число 53 преобразуем в двоичное:


53 : 2 = 26 + 1


26 : 2 = 13 + 0

13 : 2 = 6 + 1


6 : 2 = 3 + 0


3 : 2 = 1 + 1


1 : 2 = 0 + 1


1 1 0 1 0 12


Аналогично можно преобразовывать и числа с другими основаниями.


На основе двоичной системы счисления в цифровой технике разработаны различные формы представления чисел, которые иногда называют кодами. Естественную запись двоичного числа называют двоичным кодом.

Так же, как большие десятичные числа для удобства чтения разбивают при записи на тройки, так и большие двоичные числа обычно разбивают на четверки – тетрады. Две тетрады или восемь двоичных цифр называют байт – BYTE . Число 210 = 1024 называют в цифровой технике словом "кило" в нарушение точного значения данного слова – 1000.

В цифровой аппаратуре, в основном при индикации показаний десятичными цифрами или при задании параметров десятичными задатчиками, широко применяются двоично–десятичные коды.

Самый распространенный из них BCD – код (сокращенное BINARY CODED DECIMAL, – двоично – кодированная десятичная цифра), который порой называют 8421 – кодом, или натуральным двоично–десятичным кодом. В этом коде каждая десятичная цифра представляется своей отдельной тетрадой – четверкой двоичных цифр, например:


5 2 6

52610 = 0101 0010 0110BCD


Другой двоично – десятичный код, – код с избытком 3 (EXCESS – 3 CODE). В нем каждая десятичная цифра кодируется двоичной тетрадой , в которой взвешенная сумма разрядов больше этой десятичной цифры на три. Так, десятичная цифра 9 записывается тетрадой 1100, для которой взвешенная сумма разрядов 81 + 41 + 20 + 10 = 12, что на 3 больше 9.

Этот код является само дополняющимся до 10, т.е. его верхние 5 цифр (от 0 до 4) являются зеркальным отражением нижних 5 цифр (от 5 до 9); например, число 0EX3 = 0011EX3 является инверсным числу 9 = 1100EX3, число 1= 0100EX3 является инверсным числу 8 = 1011EX3 и т.д. Достоинством кода с избытком 3 является его повышенная помехоустойчивость при передаче информации в канале связи.

При изготовлении двоично–кодированных датчиков перемещения или угла поворота часто применяется код Грея (GRAY CODE). В этом коде комбинации двоичных цифр, представляющие числа, соседние по величине, отличающиеся лишь в одной кодовой позиции, т.е. при последовательном переходе от одного числа к другому всегда изменяется только один из двоичных разрядов.

Число B, записанное в двоичном коде, можно преобразовать в число G в коде Грея с помощью следующего выражения:


Gi = Bi Bi+1 .

Число G, записанное в коде Грея, можно преобразовать в число B в двоичном коде с помощью следующего выражения:


Bi = Gi Bi+1 .


Здесь знак означает сумму по модулю два, которая равна единице, если входные слагаемые разные, или – нулю, если они одинаковые, т.е.


0 0 = 0

0 1 = 1

1 0 = 1

1 1 = 0


Число в коде Грея также можно получить из двоичного кода следующим образом :


двоичный код 1 1 0 1 0 1




код Грея 1 0 1 1 1 1


Обратное преобразование кода Грея в двоичный код производят по похожей схеме:


код Грея 1 1 0 1 1 1 1




двоичный код 1 1 0 1 0 1


Свойство кода Грея изменяться только в одном разряде при последовательном переходе от одного числа к другому определяет его преимущество перед другими кодами при использовании этого кода для построения кодирующих дисков и пластин. Очевидно, что такое свойство кода уменьшает число переключений считывающих устройств и устраняет неоднозначность считывания кода.



Случайные файлы

Файл
62529.rtf
34301.rtf
72425-1.rtf
РПЗ.doc
158423.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.