вопросы и ответы к билетам по ТАУ (ответы 30-39)

Посмотреть архив целиком

30. Устойчивость положения равновесия.2-ой метод Ляпунова. Геометрический смысл функций Ляпунова.

Под устойчивостью понимается сохранение системы заданных равновесных состояний или обеспечение заданных видов движения. Движение может быть возмущенное и невозмущенное. Состояние системы описывается обобщенными координатами определяемых из ДУ в форме Коши, где .

- некоторые нелинейные функции. Такие ДУ называются уравнениями возмущающего движения. А отклонение от нач. момента времени наз-ся возмущениями. Невозмущенное движение устойчиво, если для всякого полож. числа А, как бы мало оно не было , можно выбрать другое положительное число , такое что для всех возмущенных движений для которых в нач. момент времени выполняется неравенство .Причем для всех будет выполняться неравенство . Если невозмущенное движение устойчиво и предел , то система называется асимптотически устойчивой. При условии, что правые части ур-я раскладываются в ряды по степеням , эти ур-я в случае установившегося невозмущенного движения можно записать в виде : .- совокупность членов ур-я выше 1-го порядка. Для малых отклонений от равновесных состояний, когда можно пренебречь представленные уравнения заменяются линеаризованными ур-ми 1-го приближения.

Основой 2-го метода Ляпунова служит след. теоремы: 1. Если существует знакоопределенная ф-я производная которой по времени или представляют собой знакопостоянную ф-ю противоположного знака с V знака или тождественно равно ” 0” , то невозмущенное движение устойчиво. 2.Если существует знакоопределенная ф-я производная которой по времени представляет собой знакоопределенную ф-ю противоположную с V знака, то возмущение ассимпт. устойчиво. Функции, кот. удовл. этим условиям называют ф-ей Ляпунова. Знакопостоянная ф-я принимающая “0” значения только в начале координат наз-ся знакоопределенной.

Геометрич. смысл 2-го метода Ляпунова.

В фазовом пр-ве координат ф-ии Ляпунова изобр-ся замкнутой пов-ю, охватывающей точку равновесия. Если пов-ть V2 находится внутри пов-ти V1 (V1>V2), то при приближении координат к “0” (Vi→0) пов-ти стягиваются в точку x=0. Система будет устойчива.

31..Модели вход-состояние-выход. Уравнения динамики. Передаточные функции. Математические модели “вход-выход” - у которых вместо обобщенных координат вводятся входная U (управляющая) и выходная Y (управляемая) координаты. Такие математические модели целесообразно использовать для одномерных систем, когда U и Y являются скалярами. В этом случае дифференциальное уравнение, связывающее выходную и входную переменные, будет выглядеть: , где a0, a1, …, an; b0 ,b1, …, bm- постоянные коэффициенты, n – порядок системы. Для реальных физически реализуемых систем управления

m < n .

Уравнения динамики: Состояние, определяющее взаимосвязь между переменными обобщенными координатами и приложенными воздействиями называется ур-ми динамики. .

Линейные операторы обладают след. св-ми: ;(2)

. Уравнение (2) позволяет общее решение ур-я , у кот. левая и правая части выражены линейными операторами представленные в виде суммы частных независимых решений. Такие ур-я наз-ся линейными, а указываемый способ их решения – принцип суперпозиции.

Передаточные ф-ии. .

Проведем преобразование Лапласа: .

-характеристическое ур-е.

-передаточная ф-я.

Передат. ф-я – отношение вых. величины к входной, преобразованных по Лапласу при нулевых начальных условиях и возмущениях.

32. .Модели вход-состояние-выход.Элементарные типовые звенья. Математические модели “вход-выход” - у которых вместо обобщенных координат вводятся входная U (управляющая) и выходная Y (управляемая) координаты. Такие математические модели целесообразно использовать для одномерных систем, когда U и Y являются скалярами. В этом случае дифференциальное уравнение, связывающее выходную и входную переменные, будет выглядеть: , где a0, a1, …, an; b0 ,b1, …, bm- постоянные коэффициенты, n – порядок системы. Для реальных физически реализуемых систем управления

m < n .

Элементарные типовые звенья. Безынерционное: если связь между входом и выходом звена определяется алгебраическим уравнением вида xвых=kxвх, где k-коэф. усиления звена; xвхвых-входная и выходная величины. Пример-электр.усилительная лампа, механический рудуктор и т.д. Передаточная ф-я K(p)=k.