вопросы и ответы к билетам по ТАУ (ТАУ)

Посмотреть архив целиком

21. Определение функции Ляпунова нелинейных систем методом Лурье-Постникова.

В 1944 г. для одного частного вида уравнений

задача об устойчивости была изящно решена А.И.Лурье и В.Н.Постниковым.

Рассмотрим эту задачу: Дана система уравнений описывающая поведение нелинейной САУ

(2)

гдетекущие координаты системы,

α,r – постоянные коэффициенты,

нелинейная зависимость, на которую накладываются следующие ограничения :

1. непрерывна и имеет непрерывные производные,

2. однозначна,

3. нечетна, т.е.

4. (зона нечувствительности).

Лурье и Постников предложили для такого класса нелинейных систем V-функцию Ляпунова в виде квадратичной формы координат (для линейной части системы) плюс интеграл от нелинейности (3)

Функция V (3) является определенно-положительной, т.к. при любых значениях xi все слагаемые положительны.


Возьмем полную производную по времени от (3) (4)

Подставим в (4) соответствующие производные из системы (2).

(5)

Если

(6)

то производная из (5) всегда отрицательна, следовательно состояние равновесия системы устойчиво. Если условие (6) не будет выполнено, то об устойчивости состояния равновесия ничего сказать нельзя.


22. Частотный метод исследования абсолютной устойчивости . Критерий устойчивости В.М. Попова.

Абсолютной устойчивостью наз. устойчивость положение равновесия в целом при не ограниченном внешнем возмущении, имеющей место для нелинейных характеристик Ф(х), заключенных между двумя прямолинейными лучами, проходящими через начало координат в I и III квадрантах и имеющих угловые коэффициенты r и k (рис.153).

Критерий абсолютной устойчивости В.М.Попова

Принимаем g(t)=0 (рис.154).

Определение: Для того, чтобы положение равновесия нелинейной системы с устойчивой линейной частью было абсолютно устойчивым, достаточно следующие условия: (1)

Где k – максимальный угловой коэффициент для сектора нелинейной характеристики.

α – некоторое постоянное число.

Считая, что линейная часть системы устойчива, рассмотрим геометрическую интерпретацию критерия, для чего введем частотную характеристику

(2)

которая отличается от частотной характеристики линейной части системы лишь мнимой частью:

(3)

Частотная характеристика обладает следующими свойствами:

1. Если в частотной характеристике линейной части системы порядок полинома числителя не выше порядка полинома знаменателя, то будет всегда лежать в конечной части плоскости. Это означает, что при стремятся либо к нулю, либо к конечному пределу.

2. Мнимая часть частотной характеристики в отличие от V(ω) является чётной функцией, следовательно частотная характеристика не будет симметричной относительно вещественной оси.

Рассмотрим первое уравнение системы (1)

(4)

Учитывая (3) неравенство (4) можно переписать (5)

Граничное (критическое) значение (6)

Уравнение (6) в координатах комплексной плоскости U*, V* дает прямую линию, пересекающую вещественную ось в точке с коэффициентом наклона и касается частотной характеристики .

Если выполняется условие (5), то кривая *лежит правее прямой (6).

Таким образом критерий Пóпова может быть еще сформулирован таким образом: Для абсолютной устойчивости состояния равновесия нелинейной системы с устойчивой линейной частью и нелинейности, характеристика которой лежит в секторе , достаточно, чтобы частотная характеристика Попова целиком лежала справа от прямой, проходящей через точку с угловым коэффициентом , где α

может принимать произвольное значение.


23. Частотный метод исследования абсолютной устойчивости . Обобщение критерия В.М. Попова на случай нейтральной и неустойчивой линейной части.

Линейная часть называется нейтральной, если хотя бы один корень характеристического уравнения является нулевым, а все остальные левыми.

Неустойчивая линейная часть – если хотя бы один корень правый.

Если линейная часть системы неустойчива (нейтральна), нелинейная характеристика Φ(x) не может уже принадлежать сектору , т.к. при k=0 система размыкается, следовательно, будет неустойчива заведомо. Очевидно, она будет неустойчива и при малых k.

Преобразуем исходную систему (рис.157), охватив нелинейный элемент прямой, а линейную часть обратной отрицательными связями с коэффициентом r (видоизмененная схема эквивалентна предыдущей, т.к. это видно из рис.158, введенные обратные связи взаимно компенсируются).

В преобразованной структуре нелинейная часть имеет характеристику

линейная часть (2)

Коэффициент r выбирается таким, чтобы корни уравнения были левыми, т.е. чтобы видоизмененная линейная часть была устойчива.

Т.к. полученная линейная часть устойчива, то к преобразованной структуре можно применять критерий Попова:

(3)

где k1=kr , согласно соотношения (1).

Второе уравнение (3) с учетом (1) преобразуется к виду или

(4)

т.е. нелинейная характеристика для абсолютной устойчивости состояния равновесия исходной системы с неустойчивой или нейтральной линейной частью должна принадлежать сектору(r; k), где r – постоянный коэффициент.


24 Устойчивость в «малом» и «большом». Связь критериев В.М. Попова с методом Ляпунова.


Пусть линейная система устойчива в секторе (0, К)-см рис. 5.9

начальная часть нелинейной характеристики, соответствующая­ , лежит внутри этого сектора, а при выходе х за указанные пределы выходит за пределы сектора. Очевидно, что в данном случае нельзя утверждать, что равновесие системы будет абсолютно устойчиво, т.е. устойчиво в целом при любых f(t), но мы можем утверждать, что при таких , которые вызывают отклонение х, не выходящее за пределы (-х2, х1), будет имеет место устойчивость положения равновесия в большом и, конечно, устойчивость в малом.

Положение равновесия системы предст на рис.устойчива в смысле Ляпунова, если существует такое положительное число λ(А)>0, что при макс воздействии

Имеет место неравенство x(t)≤А, где А- малое положительное число.

В завис-ти от того, при каких значениях λ(А) выполняются неравенства

и x(t)≤А, различ 3 вида устойчивости:

1. устойчивость в малом ( если λ(А)- бесконечно малая величина);

2. уст-ть в большом ( если -конечная вершина);

3. уст-ть в целом ( если-неогранич)

С помощью критерия Попова легко можно пояснить, когда применим первый метод Ляпунова. Заменим нелинейную характеристику в точке равновесия касательной (рис. 5-10).

Если линейная система устойчива (а не находится на границе устойчивости), то небольшой подъем луча 0К в положение 0К1 не нарушит устойчивости, то при этом начальная часть нелинейной характеристики попадает внутрь сектора (0, К1), и равновесие нелинейной системы будет устойчивым в малом.

Если же мы имеем критический случай, то касательная является границей сектора, внутри которого линейная система устойчива, и мы не можем судить об устойчивости равновесия нелинейной системы.

Функция Ляпунова может быт построена различными способами для одной и той же системы. Для каждой такой частной функции Ляпунова можно построить свою область устойчивости в пространстве параметров, но каждая такая область не будет истинной областью устойчивости, поскольку второй метод Ляпунова дает лишь достаточное условие устойчивости.

Р. Калман показал, что область устойчивости, даваемая критерием Попова, будет огибающей для всех областей устойчивости, определяемых функциями Ляпунова вида “квадратичная форма плюс нелинейность”, т.е. будет шире и ближе к истинной области устойчивости, чем любая из областей устойчивости, определяемая по функции Ляпунова заданной формы.


25. Анализ поведения СУ на фазовой плоскости. Характеристики фазовых портретов типа «центр».

Состояния равновесия – это особые точки фазовой плоскости, которые определяются из решения алгебраической системы

Точки для кот справедливо это уравнение наз особыми т.к.

При исследовании процессов на фаз. плос-ти необходимо определить местонахождение особых точек и вычислить их тип от кот зависит будет ли состояние равновесия устойчивым или нет. Если ур-я аналитические , то разложим их в ряд Тейлора тогда получим ур-я

Хар-ка фаз.п. типа «центр»

корни мнимые



В окружности особой точки фазовая траектория пред.с. бесконечное множество эллипсов.

В этом случае у системы отсутствует обмен энергией с внешней средой.








26. Анализ поведения СУ на фазовой плоскости. Характеристики фазовых портретов типа «фокус».

Особая точка типа ”устойчивый фокус” – корни комплексные с отрицательной вещественной частью

В этом случае сущ-ет обмен энергией с внешней средой, т.е. система к диспативным системам.Система устойчива и ассиметрически устойчива.

Особая точка типа ”неустойчивый фокус” – корни комплексные с положительной вещественной частью


В этом случае система всегда неустойчива. Фаз. траектория имеет вид разворачивающейся спирали.


27. Анализ поведения СУ на фазовой плоскости. Характеристики фазовых портретов типа «узел».

Особая точка типа ”устойчивый узел”корни действительные отрицательные