вопросы и ответы к билетам по ТАУ (ТАУ)

Посмотреть архив целиком

Раздел №1

Основные понятия и определения

Задачи курса ТАУ

Делятся на 3 вида: задачи анализа, задачи синтеза и задачи экспериментального исследования и полналадки системы. Задача анализа решает исследование динамических процессов управления заданной функциональной схемы САУ, а также заданных параметров элементов системы. Определяются временные и частотные характеристики САУ, устойчивость системы. Задача синтеза заключается в рассмотрении спроектированной САУ и определении всех ее параметров, которые сравниваются с технологическим заданием (ТЗ) на систему управления. Задача состоит в том, чтобы ответить на вопрос: «Как следует изменить параметры элементов САУ, чтобы она отвечала заданному ТЗ. Решение этой задачи не всегда однозначно.

Принципы построения систем автоматического управления. Основные понятия и определения.

Существует 2 группы САУ (классификация САУ): 1) автоматизированные системы управления; 2) автоматические системы управления. В автоматизированных системах процесс управления осуществляется при непосредственном участии человека, который входит в состав системы и является основным звеном. В автоматических системах при управлении каким-либо объектом процесс управления осуществляется без непосредственного участия человека. При этом обеспечивается постоянство определенной физической величины, характеризующей состояние объекта или изменения этой величины в соответствии с определенным законом на основании исходной информации. Любая с-ма управления имеет вид:

где ОУ – объект управления, УУ – управляющее устройство (регулятор), у – основной параметр объекта управления, на который направлено воздействие, х – задающее воздействие. Несет информацию о целях управления. u – управляющее воздействие, которое решает цель управления путем воздействия на ОУ и изменяет выходной параметр объекта (у), F,Z – возмущающие воздействия

Понятие об автоматических и автоматизированных системах управления.


Задачи математического управления.


Основные понятия теории автоматического управления.


Энергетический и информационный признаки воздействия.

Основными признаками воздействия являются: 1) энергетический признак – характеризует способность воздействия нести энергию. Этот признак очень важен при анализе САУ, в которых осуществляется передача энергии. 2) метаболический – характеризует материальную сторону воздействия. Реализуется в САУ, в которых осуществляется преобразование вещества, его количество, формы и положение. 3) информационный – характеризует способность воздействия быть носителем информации. Воздействие несущее информацию называется сигналом.

Основные принципы управления: по отклонению, по возмущению.

Инвариантные САУ.

Комбинированные САУ.

Термопара и питающийся в зависимости от нее привод совместно осуществляют зависимость между перемещением и величиной отклонения, которая называется законом регулирования по отклонению.

Простейшим режимом работы печи будет выдерживание постоянной температуры в течение достаточно длительного периода времени. На надо иметь возможность устанавливать систему на автоматическое поддержание заданной температуры в течение достаточно длительного периода времени. Для этого на входе системы подается эталонное напряжение, которое соответствует требуемой температуре. Это напряжение сравнивается с напряжением термопары, которое отвечает температуре печи. Разность напряжений называется рассогласованием.

В комбинированных САУ совмещено как управление по отклонению, так и по возмущению.

Линейные и нелинейные законы управления.

Закон управления – функциональная зависимость между управляющим воздействием "U" и погрешностью управления "e". Законы управления делятся на 3 группы: линейные, нелинейные, логические. Линейные законы выражают линейную взаимосвязь между управляющим воздействием "U" и погрешностью управления "e": Пропорциональный: U=k1e (П-регулятор), Дифференциальный: U=k2de/dt (Д-регулятор), Интегральный: U=k3 0e dt (И-регулятор), U=k1e + k2de/dt (ПД-регулятор), U=k2de/dt + k30edt (ПИ-регулятор), U=k1e + k2de/dt +

+ k30edt (ПИД-регулятор).

Нелинейные законы – законы, в которых функциональная связь между управляющим воздействием и погрешностью управления носит нелинейный характер: U=f(e), U=k1e2, U=k2lg(e), U=k3tg(e).

Логические законы: U= k1e при 0<e<e1 и k2­­lg(e) при e1<e<e2.

Статические и динамические режимы САУ.

САР, обладающие статической ошибкой, называются статическими системами. 1 – кривая процесса без регулятора, 2 – с автоматическим регулятором. При хорошо спроектированном регуляторе отличие кривой 2 от постоянного значения можно сделать практически незаметным. В идеале регулятор должен поддерживать одно и тоже значение, но регулятор не работает идеально. Это отличие установившегося значения регулируемой величины от требуемого, заштрихованное на рисунке, будет называться статической ошибкой САР.

Кривые t1 и t2 показывают зависимость количества металла Q от времени установления переходного процесса в печи без регулятора (t1) и с регулятором (t2). Кривые a и b показывают зависимость от Q величины максимального падения температуры в печи без регулятора (а) и с регулятором (б). Указанные четыре кривые являются динамическими характеристиками объекта и системы в переходных процессах. Отклонение фактического значения регулируемой величины (t) в переходном процессе от установившегося или от программного ее значения называется переходной динамической ошибкой системы автоматического регулирования.

Статическое и астатическое управление. Статизм и астатизм системы.

САР, обладающие статической ошибкой, называются статическими системами. 1 – кривая процесса без регулятора, 2 – с автоматическим регулятором. При хорошо спроектированном регуляторе отличие кривой 2 от постоянного значения можно сделать практически незаметным. В идеале регулятор должен поддерживать одно и тоже значение, но регулятор не работает идеально. Это отличие установившегося значения регулируемой величины от требуемого, заштрихованное на рисунке, будет называться статической ошибкой САР.

Введение интеграла в закон регулирования позволяет получить систему автоматического управления или регулирования, не обладающую по принципу своего действия статической ошибкой. Такая система называется астатической системой. Астатический закон регулирования можно представить в виде dy/dt = Rрегx или r = Rрег U dt или же y = Rрегx dt. Поэтому в астатической с-ме происходит регулирование по интегралу от отклонения регулируемой величины.

Раздел №2

Математическое моделирование динамических процессов

Математическое моделирование динамических процессов типовых звеньев и систем автоматического управления.

Любая реальная САУ является достаточно сложной системой, протекание процессов в элементах которой имеет различную природу. Это механические, эл., гидравлические, пневматические и другие процессы. Поэтому необходимо найти такие методы математического описания динамики САУ, которые были бы общими для всех элементов системы, независимо от физики протекания процесса в них. Поэтому широкое применение при анализе САУ получили методы, описанные в следующем пункте.

Основные способы моделирования динамических процессов и звеньев САУ

1) посредством дифференциальных уравнений. Описывает изменение переменных САУ во времени и в пространстве. При составлении моделей по средством диф.ур. используются законы, определяющие протекание процессов в них. 2) посредством временных моделей. Дает возможность анализировать связь между переменными, заданными как функция времени. 3) посредством частотных характеристик. Дает связь между изображениями переменных по Фурье или Лапласу. 4) в пространстве состояний. Представляет собой систему дифференциальных уравнений, в которой каждое дифференциальное уравнение представляет собой описание динамики процесса управления в отдельных связанных между собой элементов САУ. – Является самым разработанным способом описания динамики процессов САУ. Лежит в основе всех остальных. – Обладает хорошей наглядность, имеет простой физический. Недостаток: неудобство и громоздкость для практических расчетов реальных САУ. – Наиболее удобный и простой инженерный метод анализа динамики САУ. Недостаток: необходимость перехода от реальных характеристик динамических процессов к их изображениям по Лапласу или Фурье. После этого перехода получаются наиболее удобные методы анализа динамики процессов в САУ.

Способы моделирования во временной области.

Наиболее часто в качестве моделей во временной области используется переходная характеристика h(t) и импульсная W(t). h(t) позволяет определить устойчивость системы 7 основных показатели качества САУ. Импульсная характеристика имеет методологическое значение, связанное с преобразованием Лапласа, с передаточной функцией системы и широко применяется для вывода инженерных формул анализа САУ. Переходной характеристикой называется реакция невозбужденной системы (при нулевых н/у) на единичное воздействие 1(t). Импульсной характеристикой называется реакция невозбужденной системы на входное воздействие x(t) = (t) = при t=0 и 0 при t0. Причем +(t)dt = 1.

Способы моделирования в частотной области.

К частотным моделям моделирования относится составление W(p) – передаточной функции, W(j) – ККУ, A() – АЧХ, () – ФЧХ. W(p) есть преобразование (изображение) Лапласа для W(t), W(j) – Фурье изображение W(t). A() показывает зависимость усиления системы от частоты, () показывает зависимость сдвига фазы между входным и выходным сигналом в зависимости от частоты.

Виды типовых воздействий: импульсное, единичное, ступенчатое, линейно -изменяющееся, квадратичное, гармоническое.


Импульсная и переходная функции.

Переходной характеристикой называется реакция невозбужденной системы (при нулевых н/у) на единичное воздействие 1(t). Импульсной характеристикой называется реакция невозбужденной системы на входное воздействие x(t) = (t) = при t=0 и 0 при t0. Причем +(t)dt =1.

Свертка функций интеграла Дюамеля, динамические характеристики в частотной области.

Если требуется определить y(t) для САУ с W(t) и x(t), то есть два пути решения: 1) по временной модели, т.к. импульсная характеристика определяет динамику процесса управления САУ, то по известным W(t) и x(t) должно быть получено единственное решение y(t). Решением является интеграл Дюамеля: y(t) = 0+x(t)W(t)d, также называемый интеграл свертки. 2) по частотным моделям. Все переменные, входящие в задачу, преобразуются с помощью интеграла Лапласа: y(p) = 0+x(t)eptdt. Изображение функции по Лапласу W(p) = 0+W(t)eptdt. Из свойства такого преобразования следует, что интеграл Дюамеля может быть заменен перемножением изображений Лапласа функций оригиналов, т.е. y(p) = X(p) W(p). В этом случае y(t) = 1/(2j)

j +j y(p)eptdt.

Передаточная функция системы, комплексный коэффициент передачи, амплитудно-частотные и фазо- частотные характеристики.

Передаточной функцией системы называется отношение выходного параметра системы к входному воздействию в форме преобразования Лапласа. ККУ представляет из себя Фурье преобразование от импульсной характеристики W(j) = 0+W(t)ejtdt = R() + jI() = A()ej() = A()

[cos() + jsin()]. При этом A() = корень(R2()+I2()), а () = arctg I()/R(). АЧХ есть отношение амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала при изменении частоты от 0 до . ФЧХ – зависимость разности фаз выходного гармонического сигнала к входного гармонического воздействия при изменении частоты от 0 до .

Логарифмические характеристики.

Комплексный коэффициент усиления равен W(j) = A() ej(). Прологорифмируем эту формулу, получим lnW(j) = lnA() + j(). Логарифмическая АЧХ показывает изменение коэф. усиления в относительных единицах – Беллах. Белл – логарифмическая единица, соответствующая десятикратному увеличению мощности. Для построения характеристик усиления системы в Беллах перейдем от натуральной логарифмической шкалы к десятичной. L() = lgA(). Т.к. Белл является большой величиной, то на практике применяются децибелы 1 белл = 10 децибелл. В системах автоматики и усилительных устройств величина A() представляет собой не отношение мощностей, а отношение выходной величины к входной. Поэтому увеличение этого отношения в 10 раз соответствует увеличению мощности в 100 раз, что соответствует 2 Белам или 20 децибелам. Поэтому в автоматике логарифмическая АЧХ рассчитывается по формуле, приведенной к 20 дБ: L() = 20 lgA(). При построении ФЧХ принято ось частот нумеровать от - до 0. Поэтому точку 0 совмещают с точкой -, а отрицательный сдвиг фазы откладывается вверх. Горизонтальная ось градуируется по логарифмической сетке, единица приращения которой называется декартой.

Связь между различными видами динамических характеристик.

Каждая из рассмотренных моделей динамики процессов управления имеет самостоятельное значение, автономно и полностью характеризует свойства системы управления, следовательно, все формы моделей должны быть между собой однозначно связаны. Каждая из моделей дает возможность оценить те или иные динамические свойства системы управления. Обычно наиболее разработанной явл. модель в форму диф. уравнений.

Раздел 3

Качество САУ

Определение качества САУ по переходной характеристике

По переходной характеристике можно определить следующие показатели качества системы:

1) Устойчивость: а) если колебания затухающие, то система устойчива. б) если колебания расходящиеся, то система неустойчива в) если колебания с постоянной амплитудой, то САУ находится на грани колебательной устойчивости. 2) Статическая погрешность системы eст = 1 – hуст, где hуст – установившееся значение системы – значение, вокруг которого происходят колебания системы. 3) Время разгона САУ до максимума колебательного процесса 4) Быстродействие системы s – время от начала колебаний до момента, когда h(t) 0,05hуст. 5) Период собственных колебаний системы TC = 2/C, где С – частота собственных колебаний. 6) Колебательность САУ – показывает количество перерегулирований в системе за время быстродействия системы s. n = s/TC. 7) Коэффициент перерегулирования = (hmaxhуст)/hутс 100%. Лежит в пределах 30-40%. 8) Декремент затухания = 1/TC ln(A2/A1) < 0

Прямые и косвенные методы построения переходных характеристик САУ. Определение качества САУ по переходной характеристике.


Построение переходной характеристики САУ методом решения дифференциальных уравнений.

Для того, чтобы из передаточной функции получить дифференциальное уравнение нужно проделать операцию, обратную той, с которой получен переход от диф .уравнения. Для этого передаточную функцию надо записать в форме дробно рациональной функции. Для получения h(t) можно воспользоваться их определенностью, т.е., в диф. уравнение системы вместо x(t) подставить 1(t), откуда y(t) = h(t).

Построение переходной

характеристики САУ методом

применения преобразований

Лапласа и Фурье.

Переходная характеристика получается путем обратного преобразования Лапласа: W(t) = ₤-1{W(p)}, h(t) = w(t)dt = ₤-1{W(p)/p}. Также найти переходную характеристику системы можно методом разложения дроби в ряд Фурье по формуле Хевисайда: h(t) = B(0)/A(0) + k=0N B(pkt) / [pk dA(pk)/dpk] epkt.

Построение переходных характеристик по теореме Хевисайда. Определение качества САУ по переходной характеристике.


Косвенные методы оценки качества: частотные оценки качества процессов управления.

Оценка качества по действительной части ККУ R() получается на основе использования следующего: h(t) =1/2

WЗ (j)/j ejt d. W(p) = ₤{W(t)}, h(t) = 0W(t)dt, h(p) = W(p)/p. Откуда h(t) = 1/2 1/j [R()+jI()] (cos t + jsin t) d = 2/ 0 R()/ sin t d. Из этой формулы h(0) = [] limR(), hуст = [0] lim R(). Критерий Мауи: для того, чтобы коэффициент перегулирования <18% достаточно, чтобы R() замкнутой системы была непрерывной положительной невозрастающей функцией. Критерий монотонности: для того, чтобы переходная характеристика h(t) была монотонной функцией необходимо, чтобы R() замкнутой системы была положительной функцией с отрицательной и монотонно возрастающей производной. Оценка колебательности с-мы: N = max WЗ(j) /WЗ(0) Rmax()/R(0). Статическая погрешность системы: = 1 – Rуст, коэффициент перерегулирования

= (Rmax – R(0))/R(0) 100%.

Косвенные методы оценки качества: корневые интегральные оценки качества процессов управления.

Нулями передаточной функции называются корни числителя передаточной функции САУ, а полюсами называются корни знаменателя передаточной функции. W(p) =B(p) / A(p), тогда B(p) = 0 – нули, A(p) = 0 – полюса. Переходная характеристика системы зависит от распределения нулей и полюсов передаточной функции. Помимо этого качество регулирования зависит также от взаимного расположения нулей и полюсов изображения внешнего воздействия. Имеется несколько методов оценки качества САУ по расположению нулей и полюсов передаточной функции. Простейшим случаем является случай, когда передаточная функция системы по внешнему (задающему) воздействию g не имеет нулей: Wg(p) = 1/D(p), где D(p) – характеристическое уравнение системы и D(p) = a0pn + a1pn-1 + … + an-1p + an = 0. Для оценки качества системы по корням характеристического уравнения будем рассматривать устойчивую систему, т.е. все коэффициенты должны быть положительны в соотв. с критерием Гурвица, а корни хар. ур. должны лежать слева относительно начала координат. Параметр = S1S2S4 =

= n[an/a0] является мерой быстроты протекания переходных процессов. Увеличение этого параметра позволяет уменьшить время регулирования в 10 раз при неизменной переходной характеристике. Предварительные сведения о расположении корней хар. ур. можно получить из след. соотношений: a0>a1 …>an >0, если это условие выполняется, то модули всех корней <1, если же 0<a0<a1<…<an, то модули всех корней характеристического уравнения больше 1. Введем обозначения: – расстояние от мнимой оси до ближайшего корня (степень устойчивости), – расстояние от мнимой оси до удаленного корня, = tg – (колебательность) тангенс угла наклона радиус - вектора ближайшего комплексного корня или отношение ближайшего комплексного корня к его вещественной части.

Интегральные оценки качества САУ.

Y0, Y1, Y2 и т.д.

Раздел 4

Устойчивость

Устойчивость звеньев и САУ. Понятие об устойчивости. Анализ устойчивости САУ по теореме Ляпунова.

Если система неустойчива, то она не работоспособна и не в состоянии управлять параметрами САУ. САУ называется устойчивой, если после прекращения возмущающих воздействий она способна продолжать движение по заданному закону управления. Установившимся режимом называется такой режим, в котором можно не учитывать переходные процессы в системе. n=1N andny/dtn = m=1M bm

dmx/dtm, y(t) = yb(t) + yn(t), где yb(t) – вынужденная составляющая, зависит от задающего воздействия; yn(t) – свободная составляющая, не зависит от входного воздействия, находится при x(t) = 0 и определяется начальными условиями движения системы и ее свойствами. yn(t) находится из соотношения n=1N andny/dtn = 0 (1). Это позволяет судить об устойчивости системы управления. Для того, чтобы дать оценку устойчивости yn(t) = n=1N cnepnt, где cn определяется начальными условиями, pn – корни характеристического уравнения. Для неустойчивой системы решение уравнения 1 стремится к 0, для неустойчивой – к , для системы, которая находится на границе устойчивости, решение этого уравнения будет постоянная, либо гармоника с незатухающей амплитудой. Теорема Ляпунова: для того, чтобы САУ была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все действительные части корней характеристического уравнения имели отрицательный знак, если хотя бы один из корней >0 , то система будет неустойчивой. Если среди корней есть хотя бы один нулевой корень, то система находится на границе апериодической устойчивости. Если среди корней имеется хотя бы одна пара мнимых корней, то говорят, что САУ находится на границе колебательной устойчивости.

Критерии устойчивости

Для определения устойчивости САУ не обязательно знать численное значение корней, достаточно знать только знак действительной части. Это позволяет применить косвенные методы оценки устойчивости САУ. Эти косвенные методы называются критериями устойчивости и могут быть 2-х групп: 1) алгебраические (вытекает из анализа постоянных коэффициентов характеристического уравнения системы). Это критерий Гурвица и критерий Рауса; 2) частотные (оценка устойчивости по частотным характеристикам системы). Это критерий Найквиста – Михайлова.

Алгебраические критерии устойчивости: критерий Рауса и критерий Гурвица

В соответствии с критерием Гурвица составляется матрица коэффициентов из n столбов и n строк, где n – порядок дифференциального ур.


an-1

an-3

an-5

0

0

0

an

an-2

an-4

0

0

0

0

an-1

an-3

0

0

0

0

an

an-2

an-4

0

0

3-ая строчка это сдвинутая на 1 элемент первая сточка, 4-ая строчка это сдвинутая на 1 элемент 2 строчка. И так далее. Правило: система называется устойчивой, если все главные диагональные миноры i матрицы Гурвица будут положительными, т.е. i>0, i = 1,2,3. Следствия: 1) если хотя бы один определитель Гурвица =0, то система находится на грани колебательной и апериодической устойчивости.

2) Необходимым условием системы является требовательность положительного значения всех коэффициентов хар. уравнения. 3) Если хотя бы один из коэффициентов =0, то система находится на грани устойчивости. Если n>5, то применяется критерий устойчивости Рауса. Для этого составляется таблица из n+1 строк, где n–порядок характеристического уравнения.


1

2




1

an

an-2

an-4

a1

2

an-1

an-3

an-5

a0

3

c13=c21

r3c22

с23 = an-4

r3an-5




r3=an/an-1, с13 = an-2 – r3an-3. Заполнение таблицы начинается с 3-ей строчки при i>2: cki = Ck+1,i-2rkCk+1,i-1, rk = c1,k-2 / c1,k-1.

Критерий Рауса формулируется для того, чтобы все элементы 1-го столбца табл. Рауса были положительными, если хотя бы один из элементов таблицы Рауса имеет отрицательный знак, то с-ма будет неустойчивой, если хотя бы один элемент равен 0, то с-ма находится на границе устойчивости. Кол-во переменных знаков в 1-ом столбце табл. Рауса показывает кол-во правых корней характеристич. ур. с-мы.

Частотные критерии устойчивости: критерий Михайлова и критерий Найквиста

Позволяет судить об устойчивости САУ по частотным характеристикам разомкнутой системы. Устойчивость определяется только для замкнутой системы по виду частотной характеристики разомкнутой системы. Он позволяет использовать не только графоаналитические построения частотных характеристик, а также частотные характеристики, найденные экспериментально. Применяется в том случае, когда имеется аналитическое описание ККУ разомкнутой системы управления. Критерий Найквиста для устойчивой разомкнутой системы: для того, чтобы замкнутая система была устойчивой необходимо, чтобы годограф разомкнутой системы не охватывал точку (-1, j), т.е. (-1,j0). Критерий Найквиста для неустойчивой разомкнутой системы: для того, чтобы замкнутая система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы годограф разомкнутой системы r/2 раз в положительном направлении охватывал точку (-1,j0). Эта формулировка обобщает 1-ый случай для r = 0. Если годограф пересекает ось сверху вниз , то положительное направление, если снизу вверх – отрицательное. Критерий Найквиста для систем, находящихся на грани устойчивости в разомкнутом состоянии: Астатическая система Wp(p) = B(p) / [pvA(p)]. Для того, чтобы с-ма была астатической необходимо, чтобы она имела хотя бы 1 интегрирующее звено. Если v = 0 – с-ма статическая, если v=3 – с-ма астатическая с астатизмом 3-го порядка. Для исследования таких с-м строится дополнение к бесконечности, а дальше так же как и для неустойчивой разомкнутой с-мы.

Раздел 6

Типовые звенья

Типовые звенья и их

характеристики

САУ представляет собой систему связанных простейших динамических элементов, выполняющих определенные функции, которые называются типовым звеном. Типовое звено должно отвечать следующим условиям: 1) иметь входное и выходное воздействие; 2) выходной параметр зависит только от входного; 3) типовое звено описывается дифференциальным уравнением не выше 2-го порядка и передаточная функция представляется как частная полинома W(p) – B(p) / A(p) = bmpm/ anpn, где m<n. 4) Типовое звено должно быть структурно устойчивым, т.е. корни полинома A(p) должны лежать в левой полуплоскости. Они делятся на: 1) позиционные: а) безынерционные, б) аппериодические 1-го порядка, в) аппериодические 2-го порядка, г) колебательные, д) консервативные

2) интегрирующие: а) идеальное интегрирующее звено, б) интегрирующее замедление, в) изодром 3) дифференцирующие: а) идеальное дифференцирующее звено б) дифференцирующее замедление

Звенья пропорциональное,

инерционное звенья.

Б

W(p) = k = const, W(j) = k, A() = k, () = 0, h(t) = k, W(t) = k(t)

делитель напряжения, где

k = R1/(R1+R2)

езынерционное
(пропорциональное, статическое) называется звено, которое не обладает инерционностью и мгновенно дает на выходе величину y = kx:

Апериодическое звено 1-го порядка: Tdy/dt + y = kx, W(p) = k/(1+Tp), W(j) = k/(1+Tj), A() = k/(1+T22), () = –arctg (T), h(t) = K(1–e–t/T),

W(t) = k/T e–t/T.

RC – цепочка, T = R1/R2, k = R1C1.

Апериодическое звено второго порядка: T2dy/dt + T1dy/dt+y = kx, k = k1k2

W(p) = k/[T22p2+T1p+1] = k1/(T3p+1)

k2/(1+T4p). Эквивалентно двум последовательно соединенным апериодическим звеньям 1-го порядка.

Звенья дифференцирующее,

идеальное и реальное.

Идеальное дифференцирующее звено: y = kdx/dt, W(p) = kp, W(j) = kj, A() = k, () = +/2. Звено увеличивает амплитуду входного сигнала в раз . h(t) = k(t), W(t) = kd(t)/dt.

Tdy/dt + y = kdx/dt, W(p) = kp/(1+Tp), W(j) = kj/(1+jt).

Звено дифференциального замедления (инерционное дифр. звено): Tdy/dt + y = kdx/dt, W(p) = kp/(1+tp), W(j) = kj/(1+jt). Состоит их последовательно соединенных апериодического звена и CR- цепочки, h(t) = k/T (t) – k/T2 et/T 1(t), W(p) = kp/(1+tp) , W(j) = kj/(1+jT)

Интегрирующие звенья

Идеальное интегрирующее звено представляет собой такое устройство, у которого выходная величина пропорциональна интегралу от входной величины по времени, т.е. y = rx(t)dt. Tdy/dt = kx, W(p) = k/Tp. Если звено имеет интегрирующий характер, то координата y в уравнении должна дифференцироваться W(j) = k/(Tj), A() = k/(T), () = –/2 = const,

h(t) = t/T

Инерционный усилитель, где

Uy = 1/RC Uxdt

Интегрирующее звено замедления: Tdy2/dt2 + Tdy/dt = kx, W(p) = k/[p(1+Tp), h(t) = k[t–T(1–e–t/T] 1(t), W(t) = k(1–e–t/T)(t)

Схема реализации звена на основе предыдущей, отличается только режимом работы операционного усилителя, при котором Uy=kUxdt.

Звено – изодром: dy/dt = kx + k1dx/dt, W(p) = k/p + k1 = k(1+Tp)/p T = k1/k – постоянная времени изодрома, h(t) = (kt+t1)1(t), W(t) = k1(t) + k1(t).

Колебательное звено

Колебательное звено является частным случаем апериодического звена 2-го порядка при T1<2T2, T22dy/dt + T1dy/dt + y = kx, k = k1k2,

W(p) = k/[T22p2+T1p+1] = k1/(T3p+1)

k2/(1+T4p).

Консервативное звено

Консервативное звено является частным случаем колебательного звена и имеет W(p) = k/(1+T2p2)

Запаздывающее звено

Запаздывающее звено повторяет на выходе входное воздействие с задержкой на время 0, т.е. y(t) = x(t0), тогда W(p) = ep0, W(j) = ej0, A() = 1, () = –0.

Основные способы соединения звеньев. Преобразование структурных схем. Качество процессов управления.

1) Последовательное соединение звеньев, Wэкв = W1W2:

2) Параллельное соединение звеньев, Wэкв = W1/W2:

3) Прямой перенос звена и узла:

Любое преобразование должно давать в результате эквивалентное: x1 = x1/W1

4) Обратный перенос:

5) Перенос узлов между собой: если между узлами нет элементов, то переносить между собой их можно как угодно:

6) Перебрасывание сумматора: если между сумматорами нет элементов, то их можно переставлять как угодно.

7) Сумматор можно разбивать на несколько сумматоров.

8) Прямой перенос сумматора и звена:

9) Обратный перенос сумматора и звена:

Раздел 5

Структурный метод

анализа САУ

Структурный метод анализа САУ. Функциональные и структурные схемы.

При анализе динамических процессов в САУ основой их математического моделирования является составление дифф. ур. Составление дифр. уравнения проводится в соответствии с физическими законами протекания процессов в системах. Для упрощения описания динамических процессов посредством дифф. уравнений используется метод разложения структурной схемы САУ на простейшие динамические элементы. Таким образом САУ представляет собой систему связанных простейших динамических элементов, выполняющих определенные функции, которые называют типовыми звеньями. Структурная схема – показывает совокупность элементов системы, отражает систематические взаимосвязи между элементами и показывает последовательность процессов между ними. Функциональная схема – показывает механизм действия системы, отражает основные ее характеристики и раскрывает функциональное назначение системы. Принципиальная схема – полная корректиризированная, логически завершенная схема, показывающая устройство системы на уровне независимых конструктивных элементов и стандартизированных единиц, отражающая все виды взаимосвязей между элементами и являющаяся достаточной для сборки системы.

Линейные и нелинейные звенья, сумматоры, точки разветвления, связи.


Раздел №7

Теория погрешностей САУ

Теория погрешностей САУ. Типовые режимы, при которых оценивается погрешность системы.

Оценка точности САУ как правило дается для типовых воздействий на САУ. Погрешности от типовых воздействий на САУ являются паспортными характеристиками САУ. Типовые режимы: анализ погрешности по задающему воздействию (x), по возмущающим воздействиям (в начале или в середине схемы).

Общий случай оценки погрешности: вывод передаточных функций для погрешности САУ по задающему воздействию и по возмущению в начале и в середине схемы.

Методы анализа и расчетов погрешностей САУ разделяются на две большие группы: а) методы, позволяющие анализировать погрешности САУ с учетом переходных процессов в САУ (проводятся в области преобразований Лапласа, для получения оригинала погрешности, т.е. ее зависимости от времени (t) получают путем обратных преобразований Лапласа результатов исследования), б) методы, позволяющие анализировать погрешности САУ только в установившихся режимах САУ, то есть когда переходные процессы в системе отсутствуют (проводятся в реальном масштабе времени, все переменные являются оригиналами). Сравнивая эти методы можно сделать вывод: в первом методе получаются более точные результаты, но он требует большого количества времени на обратные преобразования Лапласа. Второй метод более прост, результат реален (является зависимостью от времени t), но менее точен.

Рассмотрим первый метод:

x(p) – задающее воздействие, определяет цель управления.

y(p) – регулируемые параметр системы (выходной параметр).

F1(p) – внешнее возмущающее воздействие на входе САУ.

F2(p) - внешнее возмущающее воздействие в середине прямого канала САУ.

E(p) – погрешность,

При исследовании погрешностей используется принцип суперпозиции сигналов (их наложения), который применим для анализа только линейных САУ. Применение этого принципа позволяет существенно упростить анализ системы.

откуда передаточная функция системы для погрешности по задающему воздействию x(p) равна:

, т.е. передаточ-

ной функцией для погрешности по х называется отношение в форме преобразования Лапласа Ex(p) погрешности управления по х, отнесенной к задающему воздействию x(p).

, где W1(p)∙W2(p)=W(p) – передаточная функция разомкнутой системы.

при W(p)>>1, единицей в знаменателе можно пренебречь.

Погрешность по возмущающему воздействию в начале схемы: (x(p) = 0,

F2=0), где WeF1передаточная

функция системы для погрешности по

возмущающему воздействию в начале (на входе) САУ (F1).

Погрешность по возмущающему воздействию в середине схемы.

передаточная функция для погрешности по возмущающему воздействию в середине схемы САУ (F2).

Методика расчета погрешностей при типовых воздействиях. Методика коэффициентов погрешностей. Расчет суммарной погрешности по задающему и возмущающим

воздействиям.

Рассмотрим характер типовых воздействий: 1)x(t)=1(t) – входное единичное воздействие (единичный скачок)

ecm=1-hycm

2)x(t)=vt–линейно-возрастающее воздействие, ev=vt-y(t)

3)x(t)=at2/2 – погрешность по ускорению, ea=at2/2-y(t)

4)x(t)-Asinωt – динамическая погрешность (гармоника)

eg=Asinωt-y(t), eg=f(ω) такая погрешность является функцией частоты гармонического воздействия на САУ.

5)статистическое вероятностное воздействие на входе САУ. На вход системы подается «белый шум» (x(t)), т.е. случайное воздействие, у которого спектральная плотность (S(ω)) равномерна в диапазоне частот от 0 до ∞. e2

Расчет суммарной погрешности по задающему и возмущающему воздействиям.


Раздел №8

Дискретные САУ

Дискретные системы автоматического управления. Понятие о

релейных, импульсных

и цифровых системах.

Сейчас повсеместное применение получили цифровые машины, которые являются наиболее типичными представителями дискретных САУ. Они находят широкое применение в автоматических и автоматизированных СУ. Например, системы ЧПУ, программируемые контроллеры, СУ автоматическими заводами, цехами, участками и т.д. Все это области применения ДСАУ. От аналоговых систем цифровых отличаются следующим: 1) формой циркуляции информации в этих системах:

2) Для дискретной величины ее значение можно измерить в течении импульса, равного . Любая САУ называется дискретной, если хотя бы один элемент этой системы явл. дискретным. ДСАУ делятся по способу квантования на 3 группы: релейные, импульсные и цифровые. Квантование – процесс преобразования аналогового сигнала в дискретный. Квантование бывает: по уровню, по времени, одновременно по уровню и по времени. В релейных – по уровню, в импульсных – по времени, в цифровых – одновременно и по времени и по уровню. Релейные ДСАУ – можно представить в виде аналоговой части и релейного элемента. Релейные ДСАУ относятся к

нелинейным СУ. Преимущества: простота и надежность, низкая стоимость; высокое быстродействие систем, достигаемое за счет использования форсированного режима управления системой. Недостаток: относительно низкая точность управления. При анализе импульсных ДСАУ используется аналоговый (непрерывный) и импульсный элементы. Импульсные элементы широко применяются для управления одновременно большим количеством объектов, для сбора информации с них. При матем. анализе могут рассматриваться в качестве как линейных, так и нелинейных элементов. Преимущества: высокая точность управления; возможность управления одновременно многими объектами; многократное использование линии связи при управлении и передаче информации последовательно на большое количество объектов; повышенная помехозащищенность линии связи. Недостаток: относительно высокая погрешность квантования по времени.

где КВ– квантователь (импульсный элемент), осуществляет квантование аналогового сигнала, Ф – фильтр, который выполняет функцию сглаживания дискретных сигналов, ОУ – объект управления.

Квантование по уровню и по времени. Погрешность квантования.

Квантование по уровню

S(t)-аналоговый сигнал

О - моменты изменения сигнала, х - сигнал на выходе после квантования. Обязательно сопровождается погрешностью квантования δ≤1/(2N+1-1)

Квантование по времени

Квантование по уровню и по времени одновременно

Квантование одновременно и по времени и по уровню: Т-период повторения импульса, Δ-шаг увеличения (дискрета), t-время изменения. В процессе одновременного квантования аналогового сигнала и по времени и по уровню результат квантования может принимать лишь дискретные значения в сетке оси ординат только в моменты времени в сетке оси абсцисс (т.е. идет оцифровка сигнала). В процессе квантования возникает погрешность квантования. δКВ(t)=S(t)-SКВ(t)

Теорема Котельникова

Для того, чтобы погрешность квантования была минимальной, пользуются теоремой Котельникова: если имеется аналоговый сигнал, спектр которого лежит в пределах от 0 до FВ(верхняя частота спектра), то в этом случае частота квантования FКВ≥2FВ. Если при квантовании аналогового сигнала выполняется теорема Котельникова, то при обратном преобразовании цифры (или дискретной величины) в аналог, аналоговый сигнал полностью восстановлен без погрешности (это только теоретически). Для уменьшения погрешности преобразования надо увеличивать разрядность дискретной величины. При увеличении 1 разряд происходит уменьшение погрешности в 2 раза. Количество дискрет дискретного сигнала оценивается по формуле: f=2N+1-1, где N - количество разрядов регистров и разрядов дискретного числа.

Математические способы описания дискретных САУ. Понятие о простейшем импульсном и формирующем воздействиях

Структурную схему любой импульсной САУ можно свести к типовым схемам:

последовательно –параллельный вариант

последовательный вариант

Последовательная схема более проста, поэтому все остальные схемы пытаются свести к ней путем структурных преобразований. Модуляция – изменение одного или нескольких параметров стандартных импульсов по закону сигнала, несущего полезную информацию. Импульс можно модулировать по амплитуде, по периоду. Импульсные модуляции бывают: амплитудные (просты в исполнении, основной недостаток: очень низкая помехозащищенность), временные, широтные, фазовые, частотные (более сложные в реализации, для них необходим высокий уровень частоты сигнала; но обладает высокой помехозащищенностью). Импульсный элемент предназначен для преобразования непрерывного (аналогового) сигнала в последовательность стандартных модулированных импульсов. ИЭ состоит из: ПИЭ (простейший импульсный элемент) и ФЭ (формирующий элемент). Модуляцией называется изменение одного, двух или нескольких параметров стандартных импульсов по законам сигнала, несущим полезную информацию. Модуляция бывает по амплитуде, по периоду (временно-импульсная), по длительности импульса (широтно-импульсная), по фазе (фазо-импульсная). Основные виды дискретные сигналов:

В качестве стандартных сигналов применяется прямоугольная форма импульса и его амплитудная модуляция. Основной характеристикой элемента модуляции является статическая характеристика (показывает зависимость изменения амплитуды сигнала от изменения входного воздействия x(t). Последовательность импульсов представляет из себя несущий сигнал. x(t) моделирующий – информационный сигнал.

Важны линейность статической характеристики, обеспечивающая ее пропорциональность, и диапазон допустимых значений входного воздействия.

Математические способы описания дискретных САУ. Фиксатор. Понятие о дискретных функциях.

Последовательность прямоугольных импульсов, модулированных по амплитуде по закону информационного сигнала x(t) представляет из себя импульсную характеристику формирующего элемента. X**(t) = X(nT), WФ(p)=L{W(t}фэ. Представим прямоугольный импульс как разность воздействий: 1(t) – 1(t). L{W(t)}=L{1(t)–1(t)}, WФЭ(p)=(1-e)/p, τ=γT, где γ – скважность, WФЭ(p)=(1-epγT)/p.

Прямоугольный импульс можно представить как разность единичного воздействия и сдвинутой на время τ той же единичной функции.

Периодический сигнал описывается следующей формулой: X(t+Δt)=X(t)+X(t) (T+ΔT), x2= x1k. Этот процесс называется экстраполяцией первого порядка. Формирующий элемент с γ=1 называется элементом экстраполяции нулевого порядка или фиксатором.

WПНЧ(p)=y(p)/e*(p) (1) – передаточная функция приведенной непрерывной части. Из формулы (1) следует, что WПНЧ(p) есть функция дискретно-аналогового характера, в которой y(p) – непрерывное преобразование Лапласа от y(t), а e*(p) – дискретное преобразование Лапласа. С точки зрения математики нахождение и анализ таких функций очень сложен. Для упрощения все непрерывные элементы дискретизируются и к каждому элементу по отдельности и к системе в целом применяется только дискретный математический аппарат ═> переход от непрерывного к дискретному сигналу осуществляется очень просто: В любой функции f(t) t заменяется на nT (n=0,1,2,3..., T-период дискретизации) Функция f(t) в этом случае отсчитывается только в моменты nT. В результате получаем дискретную функцию. В этом случае ДСАУ по аналогии с непрерывными САУ описывается посредством разностных уравнений, которые являются аналогами диф. уравнений, описывающий динамику непрерывных систем.

Математические способы описания дискретных САУ. Разностные уравнения. Дискретное преобразование Лапласа: Z и W преобразования.

Динамика ДСАУ описывается разностным уравнением: CmΔmY(nT) +

+ Cm-1Δm-1Y(nT)+...+ C0Y(nT) =

= BKΔKX(nT)+...+ B0X(nT).

Для ДСАУ получаем дискретное преобразование Лапласа: F*(p) = n=0f(nt)epnt. Если в этой формуле заменить epT на Z, то получим дискретное преобразование Лапласа в форме Z-преобразований. Если порядок характеристического уравнения ДСАУ>3, то удобно перейти к W-преобразованию, путем подстановки Z=(1-W)/(1+W).

Математические способы описания дискретных САУ. Передаточные функции и комплексный коэффициент передачи разомкнутых и замкнутых дискретных систем.

Передаточная функция системы –

F(p) = 0 f(t) e–ptdt, F*(p) = n=0 f(nT)

epnT, F(z) = n=0 f(nT) Z-n прямое преобразование Лапласа от ее импульсной характеристики W(t) формирующего элемента. WФ(p)=L{WФЭ(t)}. Если передаточная функция разомкнутой системы W(z), то для замкнутой системы передаточная функция: Ф(z)=W(z)/1+W(z) (**), передаточная функция по входному воздействию: Wex(z)=1/1+W(z), перед. ф-я по порешности: Wef(x)=W(z)/1+W(z)

Математические способы описания дискретных САУ. Устойчивость, погрешность и качество

дискретных САУ.

Для того, чтобы ДСАУ была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения системы (**) лежали внутри единичной окружности, построенной в начале координат комплексной функции Z. Если хоть один из корней находится вне круга, то ДСАУ неустойчива. Если хоть один корень находится на границе круга, то система на грани устойчивости. Z=epT=eαTejωT (*), eαT-определяет радиус (модуль) вращения, eαT-дает вращение с частотой ω. Математическая формулировка устойчивости ДСАУ вытекает из теоремы Ляпунова(*): α<0 – ДСАУ устойчива, eαT<0, для α<0. Применение W-преобразования позволяет при исследовании устойчивости системы по теореме Ляпунова перейти к критериям оценки устойчивости САУ, использую такие же критерии устойчивости, как критерий Гурвица, критерий Раусса.

Методы построения переходной характеристики

H(z) считается по формуле H(z) = 1(z)Ф(z), где 1(z) = z/(z-1). Оригинал переходной характеристики находится методом разложения функции в ряд Лорана (деление многочленов).

Математические способы

описания дискретных САУ.

Микропроцессорные системы.

В качестве управляющего устройства вводится ЭВМ. В цифровой системе управления сигналы в одной или нескольких точках (датчиках) представляются цифровыми кодами, с которыми оперируют ЭВМ. Наличие информации в виде цифрового кода заставляет использовать цифро-аналоговый и аналого-цифровой преобразователи. В общем случае цифровая управляющая машина (ЦУМ) воспринимает информацию сразу от нескольких объектов и выдает управляющий сигнал одновременно по нескольким каналам. Информация от объекта формируется в соответствующих датчиках и определяется параметром соответствующего ОУ.

Особенности применения МПС в качестве последовательного и параллельного корректирующего звена с целью оптимизации процесса управления адаптивных САУ.

Включение ЦВМ позволяет существенно повысить качество процесса управления, довести процесс управления до оптимального уровня. Применение ЦВМ в качестве последовательного корректирующего звена носит прерывистый характер в силу дискретности ЦВМ, что для некоторых САУ может оказаться недопустимым. В этом случае применяется параллельное включение ЦВМ в контур управления САУ.

Раздел №9

Случайные процессы

Линейные системы автоматического управления под воздействием случайных возмущений.

Рассмотрим множество подобных случайных источников возмущений. Например: усилителей, станков, измерительных приборов и т.д. Рассмотрим какую-либо из групп источников случайных возмущений. От каждого из источников проводим возмущение и запись случайного процесса.

Кол-во источников=N, xi - конкретная реализация случайного процесса. N - совокупность случайных процессов. Определим, какая доля из общего числа функций имеет в момент времени t1 значение, заключенное между x1 и x1+Δx. Эта доля зависит от момента времени t1 и пропорциональна Δx. Обозначим эту долю W1(x1,t1).

1) W1(x1,t1)Δx – функция распределения 1-го порядка. Для каждого из 2-х моментов времени (t1 и t2) будем искать долю из общего числа функций N, которые имеют значение, заключенное между x1+Δx1 и x2+Δx2. 2) W2(x1,x2,t1,t2) – функция распределения 2-го порядка. Аналогичным образом определяются ф-ии распределения высших порядков. Ф-ии распределения полностью определяют случайных процесс. Эта ф-я является статической характеристикой случайного процесса и определяется статическими методами исследования, при которых изучают не отдельную реализацию случайного процесса, а всю совокупность реализаций.

Случайные процессы, основные понятия. Характеристики случайных процессов (среднее значение, корреляционная функция,

спектральная плотность,

эргодичность процессов)

Если ф-я распределения вероятностей не зависит от времени, то случайный процесс называется стационарным. Для различных реализаций случайного процесса ф-я распределения может быть получена из результатов наблюдения над одной системой из множества в течение длительного времени. Процессы, в которых ф-я распределения по времени и по множеству совпадают, называются эргодическими процессами. Для получения вероятностных характеристик по реализации от одного источника берут достаточно большой отрезок времени и на нем фиксируют одну реализацию. Далее весь отрезок разбивают на N отрезков, каждый из которых рассматривают как отдельный источник возмущения. Ф-ю распределения вероятностей при этом рассчитывают как было показано выше, по множеству. Помимо ф-ий распределения вероятностей случайный процесс имеет и другие характеристики:

Среднее значение рассчитывается двумя видами:

по множеству:

по времени:

Корреляционная ф-я – среднее по времени значение произведения: x(t)∙x(t-τ)=R(τ)

Для стационарных случайных процессов корреляционная ф-я для каждого x(t) не зависит от выбора начала отсчета времени.

Физический смысл: R(τ) определяет связь или степень зависимости случайной ф-ии x(t) в моменты времени, отстоящие друг от друга на τ. Осн. свойства:

1) R(0)=τlim0R(τ)=x2

2) R(τ)= R(-τ)-четная ф-я,

3) R(τ)≤R(0). Понятие корреляционной ф-ии применимо также к детерминированным процессам и ф-ям. Т.е. x(t)=Asin(ωt+φ),тогда