вопросы и ответы к билетам по ТАУ (17,18,20)

Посмотреть архив целиком

17. Анализ поведения СУ на фазовой плоскости. Характеристики фазовых портретов.


Для получения полного представления о поведении автономной системы второго порядка, в частности анализа устойчивости, необходимо изобразить на фазовой плоскости все характерные фазовые траектории системы, т.е. построить фазовый портрет системы управления.

Фазовые траектории трех типов для уравнения :

  1. Точка (х0,0), если уравнение имеет постоянное решение, то точка называется положением равновесия системы. Если в любой окрестности положения равновесия имеется хотя бы одна фазовая траектория, уходящая от него при , то точка равновесия является неустойчивой. Если же все фазовые траектории в окрестности точки равновесия неограниченно приближаются к ней при , то данное положение равновесия называется асимптотически устойчивым.

  2. Замкнутая кривая (траектория), если уравнение имеет периодическое решение.

  3. Незамкнутая кривая, которая соответствует непериодическому решению уравнения.


Особые точки фазового портрета:

Корни характеристического уравнения

определяют поведение фазовых траекторий линеаризованной системы в окрестности особой точки. Имеются четыре типа особых точек: фокус, узел, седло и центр.

  1. Точка называется фокусом. Если корни комплексно-сопряженые. Фокус является устойчивой точкой равновесия, если корни имеют отрицательные вещественные части, и неустойчивой в противном случает.

  2. Узлом, если корни действительные одного знака. Причем узел является устойчивым, если оба корня отрицательны, и неустойчивым, если оба корня неотрицательны.















  1. Седлом, если корни действительные разных знаков. Седло- неустойчивая точка равновесия.









  1. Центром, если корни чисто мнимые.







Особые линии фазового портрета: предельные циклы и сепаратрисы.

Предельным циклом называется замкнутая фазовая кривая, в окрестности которой все фазовые траектории неограниченно приближаются к замкнутой кривой при или при . Цикл может быть устойчивым, неустойчивым, полуустойчивым.












Сепаратрисой называют фазовую траекторию, стремящуюся при к некоторому положению равновесия, в любой окрестности которой имеются траектории, вначале приближающиеся к этому положению равновесия, а затем удаляющиеся от него.


















18. Анализ поведения СУ на фазовой плоскости. Метод точечных преобразований.


Фазовая траектория обычно складывается из отдельных кусков. Представляющих решение уравнений системы по участкам.

Пусть граничными линиями между кусками фазовых траекторий являются ось х, линия FG и линия LN.











Возьмем начальное положение изображающей точки М0 где-нибудь на полуоси Ох. Один этап движения системы состоит в переходе изображающей точки на линию FG, ограничивающую этот этап, в некоторое положение М1. Следующий этап переводит изображающую точку в положение М2 на полуоси ОН, затем в положение М3 на кривой LN и в положение М4 на исходной полуоси Ох.

Каждому положению М0 (х0, 0) на полуоси Ох соответствует определенное положение точки М1 (х1,у1) на кривой FG. Это называется точечным преобразованием полупрямой Ох в кривую FG. Для краткости ему присваивают название например: преобразование . Дальше идет точечное преобразование кривой FG в полупрямую ОН, названное , затем точечное преобразование полупрямой ОН в кривую LN и преобразование кривой LN в исходную полуось Ох.

Все это в целом (преобразование ) называется точечным преобразованием полупрямой Ох самой в себя. Это преобразование записывается в данном случае в виде зависимости: где,

через х4 и х0 обозначены абсциссы точек М4 и М0.

Если при любом х0 оказывается х4<х0, то в системе будет затухающий процесс,

Если х4>х0 . то расходящийся процесс.

Если х4=х0 то на фазовой плоскости получится предельный цикл, который может изображать либо устойчивый автоколебательный процесс, либо границу устойчивости системы в малом, либо может соответствовать особому случаю бифуркации.
















20. Алгебраический метод определения устойчивости и автоколебаний гармонически линеаризованных СУ.