Методичка - Теория Вероятностей (теория) (tv_teor)

Посмотреть архив целиком

55




Министерство образования Российской Федерации

Московский государственный технический университет ”МАМИ”

Кафедра “Прикладная и вычислительная математика”


Е.А. Коган








ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ






Учебное пособие по дисциплине “Математика”

для студентов всех специальностей





Под редакцией зав. кафедрой

чл.-корр. РАН Э.И.Григолюка






Москва 2004


УДК 517.91 (095)






Коган Е.А. Теория вероятностей. Учебное пособие по дисциплине “Математика” для студентов всех специальностей. Под редакцией зав. кафедрой, чл.-корр. РАН Э.И. Григолюка. М.: МАМИ. 2004. - C.







Настоящее учебное пособие является руководством к решению задач по разделу дисциплины ”Математика”, посвященному теории вероятностей. Оно содержит в краткой справочной форме основные понятия теории вероятностей, относящиеся к случайным событиям, случайным величинам и законам их распределения. Приведены иллюстративные примеры решения различных типовых задач и варианты расчетно-графической работы. Пособие предназначено для студентов всех специальностей.













© Коган Е.А.

© Московский государственный технический университет “МАМИ”

1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ


Предметом теории вероятностей является изучение закономер­ностей в массовых однородных случайных явлениях ( событиях ).

Событием вообще называют качественный или количественный резуль-тат опыта, осуществленного при определенной совокупности условий. Разли-чают события достоверные, невозможные и случайные.

Событие называется достоверным, если оно при осуществлении опре-деленной совокупности условий произойдет обязательно и невозможным, если оно заведомо не может произойти.

Случайным называют событие, которое при осуществлении опре- деленной совокупности условий может либо произойти, либо не произойти.

Случайные события могут быть несовместными, совместными, равновозможными, зависимыми и независимыми. Они могут быть под­разделены также на элементарные (простые, неразложимые) и слож­ные.

Несколько случайных событий образуют полную группу, если в результате испытания произойдет хотя бы одно из них.

Чтобы сравнивать события между собой по степени возможности их появления, связывают каждое событие с некоторым числом, кото­рое тем больше, чем более возможно событие. Это число и называют вероятностью появления данного события и обозначают через P(A). Следовательно, вероятность-это числовая мера степени возможности появления случайного события.

1.1. Классическое определение вероятности

Вероятностью события A называется отношение числа m элемен-тарных исходов, благоприятствующих появлению данного события, к общему числу n всех равновозможных попарно несовместных исходов, образующих полную группу:

.

Это определение называется классическим. Оно применимо лишь к испытаниям с конечным числом равновозможных исходов.

Свойства вероятности (их трактуют как аксиомы теории вероят-ностей):

  1. Вероятность достоверного события A=U

  2. Вероятность невозможного события A=V

  3. Вероятность любого события A есть число, удовлетворяющее двойному неравенству


Для непосредственного подсчета вероятности появления собы­тия на основе классического определения применяются, как прави­ло, формулы комбинаторики ( раздела математики, изучающего воп­росы о том, сколько различных комбинаций ( соединений ) можно составить из заданного числа объектов).

Большинство задач комбинаторики решается с помощью двух основных правил: правила суммы и правила произведения.

Правило суммы. Если элемент a из некоторого конечного множества можно выбрать m способами, а другой элемент b можно выбрать k способами, то выбор “или a, или b” можно осуществить m+k способами.

При этом способы выбора элементов a и b не должны совпадать между собой. В противном случае будет m+k-l способов выбора, где l – число совпадений.

Правило произведения. Пусть даны два упорядоченных множества элементов: A, содержащее m элементов и B, содержащее n элементов Тогда можно образовать ровно mn различных пар , содержащих по одному элементу из каждого множества.

Это правило можно обобщить на случай любого конечного числа упорядоченных множеств.

Пример. Имеются 3 партии деталей. В первой 10, во второй - 8, в третьей - 12 деталей. Сколько можно образовать комплектов из трех деталей, содержащих по одной детали из каждой партии ?

Полагая по правилу произведения комбинато-рики получим комплектов.

В комбинаторике в зависимости от способа выбора элементов из неко-торого множества элементов различают три типа соединений (комбинаций): размещения, перестановки и сочетания.

Размещениями из n элементов по k элементов называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо составом, либо порядком их расположения.

Число размещений из n различных элементов по k элементов равно

.

Перестановками из n элементов называются такие соединения, которые отличаются друг от друга лишь порядком расположения входящих в них элементов.

Число всевозможных перестановок из n элементов равно

Сочетаниями из n элементов по k элементов называются такие соединения, которые отличаются друг от друга лишь составом элементов.

Число сочетаний из n элементов по k элементов равно

.

Замечание. Приведенные формулы справедливы для случая, когда сое-динения не содержат одинаковых (повторяющихся) элементов.

Пример. Каждая из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 написана на одной карточке. Последовательно наугад извлекаются 3 карточки. Найти вероятность того, что полученное трехзначное число окажется четным.

Решение. Число всевозможных элементарных исходов равно , так как получающиеся трехзначные числа могут отличаться как цифрами, так и порядком их расположения. Трехзначное число будет четным, если пос-ледняя цифра его 2 или 4, или 6. Если последняя цифра 2, то стоящее перед ней двузначное число может быть составлено из оставшихся 5-ти цифр: 1, 3, 4, 5, 6 числом способов, равным . Еще столько же благоприятных исходов можно получить, если последней цифрой будет 4 или 6. Следовательно

.

Пример. Из урны, в которой a белых и b черных шаров, вынимаются 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

Решение. Число всевозможных элементарных исходов испытания рав-но , так как каждое соединение из двух шаров может отличаться от любого другого лишь самими шарами (составом элементов), а порядок их извлечения безразличен. Аналогично рассуждая, получим, что число благо-приятных исходов будет равно .

Поэтому

Пример. В партии из 14 деталей 10 стандартных, остальные – нестан-дартные. Наугад отобраны 5 деталей. Какова вероятность того, что среди отобранных деталей ровно 3 стандартных ?

Решение. Пусть N = 14, n = 10, m = 5, k = 3. Для нагляднос­ти предста-вим условие задачи схематично в следующем виде (белыми кружками условно изображаются стандартные детали, черными - нестандартные):

Общее число всевозможных элементарных исходов равно числу способов, каким можно отобрать любые 5 деталей из 14, причем безразлично в какой последовательности. Следовательно, число всевозможных исходов равно .

Исход окажется благоприятным, если среди отобранных 5 дета­лей бу-дет 3 стандартных ( на рис. они заштрихованы ) и две нестандартных детали. Три стандартных детали можно выбрать только из 10 стандартных числом способов, равным . Для каждого из них недостающие две нестандартные детали можно выбрать только из 4-x нестандартных деталей способами.

Поэтому общее число благоприятных исходов по правилу произведения комбинаторики будет равно , а искомая вероятность

.

Замечание : В общем случае справедлива формула

В ней сумма нижних индексов в числителе должна быть всегда равна нижнему индексу в знаменателе, а сумма верхних индексов в числителе - верхнему индексу в знаменателе.




1.2. Статистическое определение вероятности

Статистической вероятностью или относительной частотой собы-тия A называется отношение числа M испытаний, в которых появилось событие A, к общему числу N фактически проведенных испытаний

Замечание. Если - теоретическая характеристика степени воз-можности появления события, определяемая до проведения опыта (в котором может появиться событие A), то W(A)- эмпирическая характеристика, опреде-ляемая по результатам опытов.

Длительные наблюдения реальных случайных событий показывают что при большом числе однородных испытаний справедлив принцип стати-стической устойчивости относительных частот. Он проявляется в том, что относительная частота W(A) колеблется около некоторого постоянного устойчивого числа, причем по мере увеличения числа опытов отклонения W(A) от этого постоянного числа имеют тенденцию становиться все меньше. Оказывается, что это постоянное устойчивое число и будет вероятностью появления события P(A).

Классическим примером, подтверждающим указанный принцип, являются опыты с многократным подбрасыванием монеты, проведенные французским естествоиспытателем Бюффоном и английским статистиком К. Пирсоном.

Опыты

Число

подбрасываний

монеты

Число

Появлений

герба


W(A)



P(A)

Бюффона

4040

2048

0,5080


0,5

К.Пирсона

12000

6019

0,5016

К.Пирсона

24000

12012

0,5005


Как видно, при большом числе испытаний относительная частота появления случайного события W(A) может рассматриваться как прибли-женное значение вероятности события A. Это определение вероятности собы-тия A и называется статистическим.

1.3. Геометрическое определение вероятности

Классическое определение вероятности неприменимо к испытаниям с бесконечным числом элементарных исходов. Задачи, связанные с такими испытаниями, сводятся к случайному бросанию точки в некоторую область.

Пусть на плоскости имеется некоторая область G и в ней подобласть g . Предполагая, что вероятность попадания случайной точки в какую-либо часть области G не зависит ни от ее формы, ни от ее расположения в области G, а пропорциональна мере этой части области, определим вероятность по-падания случайной точки в заданную подобласть как отношение мер об-ластей:

.

Здесь mes – мера области: в одномерном случае – длина отрезка, в двумерном – площадь, в трехмерном – объем. Определенная таким образом вероятность называется геометрической вероятностью.

Пример. (Задача Бюффона). Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии . На плоскость на-удачу бросается игла длиной . Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь параллель.

Решение. Пусть - расстояние от центра иглы до ближайшей парал-лели, - угол между иглой и параллелью. Величины и полностью опре-деляют положение иглы на плоскости. Очевидно, , .

Поэтому всевозможные положения иглы изобразятся точками прямо-угольника со сторонами