, (2.2.28)


(2.2.29)


К роме узлов xi=a+hi, где h = (b - а )/n — заданный шаг, введем еще вспомогательные узлы . Положим



и заменим правые производные центральными разностями


а дифференциальное выражение (a v' )' — на разностное выражение вида







Если теперь для левой части ДУ (2.2.23) воспользоваться послед­ней разностной аппроксимацией, то соответствующая ДУ (2.2.23) сис­тема разностных уравнений будет иметь вид

(2.2.25)

Краевые условия (2.2.23) дают краевые соотношения

(2.2.26)

Система уравнений (2.2.25), (2.2.26) является нелинейной систе­мой из (n+1)-го алгебраического (конечного) уравнения относитель­но (n+1)-й неизвестных величин v0 , v1 ,. . . ,vn. Эта система имеет вид

Av + H(v) = 0, (2.2.27)

где v = (v1 ,. . . ,vn-1 ) т ,
















Система нелинейных уравнений (2.2.27) может быть решена ме­тодом Ньютона (методом касательных).

Пусть H'(v) — матрица Якоби отображения H(v). Тогда kитерация метода Ньютона ( k= 1 , 2 , . . . ) состоит из двух шагов:

Шаг 1. Решить относительно уk систему линейных алгебраиче­ских уравнений

[А + Н'(vk)]уk = - [Avk + H(vk)] ,

где - известный на kшаге вектор.

Шаг 2. Положить vk+1 = vk + yk.

В качестве начального приближения можно брать вектор v0 = 0 .

Заданные выше условия (2.2.24) на функции а и g гарантируют, что система нелинейных уравнений (2.2.27) — (2.2.29) имеет единствен­ное решение, а применение метода Ньютона для ее приближенного решения эффективно (см. [5, разд. 4.4]). Кроме того, из формулы (2.2.29) следует, что

, т.е. матрица Якоби Н'(v) яв-

ляется диагональной. Следовательно, матрица A+H'(vk) — трехди-агональная, а значит, на шаге 1 каждой итерации метода Ньютона для решения соответствующей системы линейных алгебраических уравне­ний можно использовать удобный метод прогонки.

32

33


Случайные файлы

Файл
101436.rtf
162106.rtf
80778.rtf
45948.rtf
26612.rtf