используя базисные сплайн-функции вида (2.2.30) при h = 0,1, 0,01 и 0,001.

Решение. Пусть , 1(x),…, n-1(x) — сплайн-функции

вида (2.2.30). Тогда, очевидно, i(x) j(x)= I'(x) j'(x)= 0 при всех |i -j| > 1 и всех х [0,1], кроме x = xi (i = 1,..., n - 1). Отсюда в уравнениях (2.2.39), (2.2.40) для данного случая

(2.2.45)


при фиксированном i ненулевыми коэффициентами, кроме сi , будут только сi-1 и сi+1 .

Положив с0 = сn = 0 и проведя непосредственные вычисления, из (2.2.45) получим


определенное при всех t>t0, называется устойчивым (в смысле Ля­пунова), если для любого >0 существует такое = ()>0, что для всякого решения х = х(t) той же системы уравнений, начальное зна­чение которого удовлетворяет неравенству

(2.3.2)



при всех tt0 выполняется неравенство


Решение x = (t) системы дифференциальных уравнений (2.3.10) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и су­ществует такое 0>0, что для всякого решения x=x(t) той же сис­темы, начальное значение которого удовлетворяет неравенству


справедливо предельное равенство






. Вычисляя

c1 ,…, cn-1 из этих уравнений и полагая u(x) = c1 1(x)+…+cn-1 n-1(x), получаем искомое приближенное решение.

2.3. Устойчивость решений дифференциальных уравнений

Решение х = (t) системы дифференциальных уравнений

(2.3.1)

Если решение х = (t) не является устойчивым, то его называют не­устойчивым. Таким образом, для неустойчивости решения х = (t) до­статочно, чтобы существовало положительное число 0 и при любом как угодно малом >0 нашлось хотя бы одно решение х=х(t) удов­летворяющее при t = t0 неравенству (2.3.2), для которого при некото­ром t1>t0 выполнялось. бы равенство

Вопрос исследования устойчивости некоторого решения х = (t) системы уравнений (2.3.1) сводится к исследованию устойчивости ну­левого решения у(t) 0 другой системы, получаемой из (2.3.1) с по­мощью замены х =у + (t).

Устойчивость или неустойчивость решений линейной однородной системы

(2.3.3)


с непрерывной, ограниченной при t t0 матрицей A (t) определяется поведением при матриацанта X(t,tQ) или, что то же, нор­мальной фундаментальной матрицы (X(t0 ,t0)=E) этой системы.

Теорема 2.3.1. Для устойчивости решения х = (t) линейной си­стемы уравнения (2.3.3) необходимо и достаточно, чтобы матриацант

42

43


Случайные файлы

Файл
22086-1.rtf
143620.rtf
2-20.docx
CBRR5674.DOC
CBRR4364.DOC