В случае, когда vC4[a,b] (для чего достаточно, чтобы р, qC2[a,b]), приближенное решение vt (0in), полученное по указанной выше схеме, отличается от точного v(xi) (0in) на О (h), а в случае 1=1=0 на O(h2) (см., например [2, гл. 9, § 1]). Точнее, существует такая постоянная С (не зависящая от h), что

(2.2.22)


.

При этом постоянная С зависит, в частности, от и ее оценка в общем случае весьма затруднительна.

Пример 3. Определить методом конечных разностей приближен­ное решение краевой задачи



используя для решения получающейся при этом системы линейных алгебраических уравнений метод прогонки. Расчет провести с шагом h = 0,1 . Дать оценку погрешности приближенного решения.

Решение. Выберем n = 10, т.е. h = 0,1. Система (2.2.17), (2.2.19) в данном случае будет иметь вид


, где (см. (2.2.18))


ч

Таблица 1



i

ci

di

vi

v(xi)

0

-0,909

0

1,050

1

1

-0,899

-0,004

1,154

1,110

2

-0,889

-0,012

1,280

1,241

3

-0,878

-0,023

1,428

1,394

4

-0,868

-0,039

1,603

1,574

5

-0,856

-0,058

1,808

1,784

6

-0,845

-0,081

2,054

2,033

7

- 0.833

-0,109

2,350

2,332

8

-0,822

-0,142

2,712

2,696

9

-0,810

-0,180

3,157

3,148

10

3,718

3,718

В последнем столбце дано точное решение v(x)=x + ex при х = xi (0i10).

Оценка (2.2.22) в данном случае определяет погрешность прибли­женного решения как О ( h ) . Приведенные в табл. 1 результаты согла­суются с этой оценкой.

С помощью таблицы значений vi и v(xi) (0i10) нетрудно по­строить графики этих функций.

Второй тип краевых задач, для которых мы кратко рассмотрим применение метода конечных разностей, относится к нелинейным кра­евым задачам вида


(2.2.23)

Пользуясь теперь формулами (2.2.20), (2.2.21) (здесь vn = v10 = 3,718), найдем сначала коэффициенты сi, di (0i9), а затем и vi (0i10). Соответствующие результаты вычислений представлены в табл. 1.


(подробнее см. [5, разд. 4.4]). При этом будем считать, что:

  1. функции а и g непрерывно дифференцируемы на [а,b] и
    [ а , b ] х R соответственно;

  2. (2.2.24)

30

31


Случайные файлы

Файл
174446.rtf
147781.rtf
16386-1.rtf
ref-17471.doc
125518.rtf