разд. 2.2.3. Следовательно, для ее решения применим метод Ньютона (см. разд. 2.2.3).

Отметим еще, что в случае линейной краевой задачи (2.2.31) при

условии, что р , q С2 [ 0 , l ] , метод Галеркина с указанными кусоч­но-линейными базисными функциями дает погрешность ,

где v (x) — точное решение задачи (2.2.31),

вида = О (h2). В случае нелинейной краевой задачи (2.2.38) вопрос о погрешности сложнее. Тем не менее, если функции а(х) и g(x, v) достаточно «хорошие», то при тех же кусочно-линейных базисных функциях = О ( h ) .

Метод Ритца (вариационный метод) по существу является ча­стным случаем метода Галеркина. Он применим к потенциальным краевым задачам. К таким задачам относятся задачи вида

(2.2.41)


или задачи вида

(2.2.42)




Для применимости метода Ритца к задаче (2.2.41) достаточно ус­ловий pC1[0,l], p(x)>0 при всех х [0,1], q(x) С[0,1], q(х) 0 при всех х [0,l], fС0[0,l]. Для задачи (2.2.42) ограни­чимся случаем g(x ,v) g(v) . Тогда метод Ритца применим, если а С1[0,l], а(х)>0 при всех х [0,l],g С 1 (R) и gнеубыва­ющая функция на R .

Основная идея метода Ритца состоит в том, что решение соответ­ствующей краевой задачи совпадает с функцией, на которой достигает минимума потенциал данной задачи. В случае задачи (2.2.41) потен­циал является функционалом

. (2.2.43)



Потенциал задачи (2.2.42) совпадает с функционалом



(2.2.44)



где G ( ) — какая-либо первообразная функция g ( ) . Оба функцио­нала E1(v) и E2(v) определены на множестве дифференцируемых функций, обращающихся в нуль в точках х = 0 и х = l .

Для приближенного нахождения минимума функционала Е1(v) или Е2( v) выбирают набор базисных функций 1(х ), 2(х) , . . . (таких же, как и в методе Галеркина; здесь 0(х)0) и приближен­ную точку минимума и(х) ищут в виде



Тогда E1(u) = F1(c), E2(u) = F2(c), где F1(с) и F2(c) , с = 1,...,сN) — функции от N вещественных переменных с1,...,сN.
В методе Ритца вектор с ищется из условия, .



При сделанных выше предположениях эти минимумы существуют, единственны и совпадают с решениями систем алгебраических урав­нений

grad f1 (с) = 0 или grad F2 (c)=0

В свою очередь последние две системы уравнений, как оказывает­ся, совпадают с системами уравнений (2.2.36), (2.2.37) и (2.2.39), (2.2.40) соответственно.

Замечание об оценке погрешности приближенного решения в ме­тоде Галеркина, очевидно, относится к той же оценке и в методе Рит­ца.

Отметим еще, что вычисление интегралов в формулах (2.2.37), (2.2.40), (2.2.43) (2.2,44) делают методы Галеркина и Ритца более тру­доемкими, чем метод конечных разностей. Однако, если использовать стандартные программы на ЭВМ численного интегрирования или сис­темы символьных вычислений, указанная трудность будет относитель­но небольшой.

Пример 5. Решить приближенно методом Ритца краевую задачу

40

41