.

Из этих двух условий и условия, что v 0, получаем условие на параметр k (а значит, и на параметр ):

Заметим, что v С , Im v 0 .

Таким образом, в случае С, Im 0 краевая задача (2.2.10), (2.2.11) имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда имеет нетривиальные решения система линейных алгебраических уравнений относительно С1 и С2

k cos kc + H sin kc = 0.

(2.2.12)


Очевидно, что на решениях последнего (трансцендентного) урав­нения при >0 cos kcO. Следовательно, при >0 это уравнение равносильно уравнению


Графически легко видеть, что последнее уравнение имеет счетное множество положительных решений k1, k2 ,… (как, очевидно, и уравнения (2.2.12) при =0).

Так как

собственные значения данного оператора L . Из ДУ v" + k2 v=0 и кра­
евых условий (2.2.11) теперь получаем соответствующие собственные
функции

Отсюда получаем условие на v :

,

v ch vc + H sh vc = 0, vC, Im v 0.

Так левая часть последнего (трансцендентного) уравнения представляет собой целую комплексную функцию относительно v, то по теореме Руше оно имеет счетное множество решений vi, i=1, 2,... .

Следовательно, — собственные зна­чения данного оператора L. Соответствующие собственные функции очевидно будут определяться по формуле

где С т — произвольная ненулевая вещественная постоянная.

Рассмотрим теперь случай, когда С, Im 0. Решая методом характеристического уравнения ДУ


получим его общее решение


где v — один из корней квадратного уравнения

.

Таким образом, все собственные значения и соответствующие соб­ственные функции оператора L являются определенными выше после­довательностями

m, m = 1, 2,…, i=1, 2,... ,

vm(x), m = l, 2, ... , , i=1,2,...,

3. Функция Грина G (x, , ) оператора L-I при (- ,b2) находится так же, как и функция Грина G (х,) оператора L (см. п. 1.). В результате имеем





(2.2.13)







24



25


Случайные файлы

Файл
150209.rtf
158313.rtf
38573.rtf
19149.rtf
2370-1.rtf