После подстановки в ДУ (2.2.15) при x=xi (1in-1) этих приближенных значений v'(xi) и v"(xi) получим приближен­ную систему линейных алгебраических уравнений относительно v(xi) (1in-l):




Вместо этой приближенной системы уравнений рассмотрим соот­ветствующую точную систему линейных алгебраических уравнений относительно новых неизвестных vi (i = l,...,n-l):

(2.2.16)

Таким образом, ДУ (2.2.15) заменено на систему разностных урав­нений (2.2.16). Систему (2.2.16) перепишем в виде

(2.2.17)

где

(2.2.18)



Заменим теперь производную v'(x) в граничных узлах x0 и хn отношениями



Тогда после подстановки этих приближенных значений в краевые условия (2.2.14) получим приближенные уравнения





28


Последние два приближенных уравнения относительно неизвест-ных v(x0), v(x1), v(xn-1), v(xn) заменим на два точных уравне­ния относительно неизвестных v0 , v1 , vn-1 , vn :


(2.2.19)

В результате мы заменили краевую задачу (2.2.15), (2.2.14) на си­стему линейных алгебраических уравнений (2.2.17), (2.2.19), состоя­щую из (n + 1 )-го уравнения относительно (n +1 )-й неизвестных ве­личин v0,,v1,..., vn. Эту систему можно записать в виде

Av = g ,

где v = (v0 , v1 , . . . , vn)r — искомый вектор-столбец , g = (g0, g1,…, gn)r — вектор-столбец правых частей, А — матрица коэффициентов. При этом матрица А является трехдиагональной ненулевыми ее элементами являются только те, которые лежат на главной диагонали, диагонали выше нее и диагонали ниже нее. Для решения такой системы имеется специальный метод, который называ­ется методом прогонки. Этот метод является более коротким и про­стым, чем универсальные методы решения систем линейных алгебра­ических уравнений (метод исключения, метод Крамера, метод итера­ций и т.д.).

а


Алгоритм метода прогонки состоит из двух частей. Первая часть — прямой ход прогонки — заключается в вычислении вспомогательных коэффициентов сi, di , i = 0 , 1 , 2 , . . . , п - 1 , по формулам




(2.2.20)





Вторая часть — обратный ход прогонки — заключается в вычис­лении искомых величин v0,,v1,..., vn по рекуррентным формулам

(2.2.21)





29


Случайные файлы

Файл
80320.doc
66723.rtf
129661.rtf
103346.rtf
143998.rtf