(очевидно, v1,…,vn — фундаментальная система решений (ФСР) ДУ l(v)= v).

Положим тогда:

(a)


Теорема 2.2.2. Пусть не является собственным значением опе­ратора L. Тогда функция Грина оператора L- I определяется по формуле

(2.2.6)


где функции () и H(x, ,) определены перед данной теоремой формулами (а)—(г).

Замечание 1. Из условия, что не является собственным значением оператора L , следует, что ()0.

Замечание 2. Собственные значения оператора L совпадают с нулями функции () .

Следствие 1. В условиях теоремы 2.2.2. (т.е. при условии сущест­вования такого ) оператор L имеет не более счетного множества соб­ственных значений 1, 2, 3,..., не имеющих конечной предель­ной точки.

(б)


Следствие 2 (Метод Грина). Если оператор L имеет функцию Грина (т.е. существует L-1), то краевая задача l( v ) = v+ƒ(x), а<х<b , Uj (v) = 0, j=1,..., n , где ƒС [ а, b ], эквивалентна интег­ральному уравнению

(2.2.7)


вронскиан системы функций v1(x),.. .,vn(x);



(в)

Следствие З. В условиях теоремы 2.2.2 краевая задача






имеет единственное решение и (х ) для любой функции ƒ C [ а , b ] , определяемое по формуле

v

где знак « + » берется при х > , а « - » при х < ;


(2.2.8)

(г)


Пример 1. Найти функцию Грина оператора L , определенного дифференциальным выражением

l(v) = -x4v"-4x3v'-2x2v, и краевыми условиями



Случайные файлы

Файл
117122.doc
EL_BOOK.DOC
183356.doc
9654-1.rtf
2502.rtf