• устойчивость решений дифференциальных уравнений и систем
    дифференциальных уравнений;

  • методы функций Ляпунова;

  • линейные и квазилинейные дифференциальные уравнения в
    частных производных первого порядка;

    а также другие теоретические и прикладные методы дифферен­циальных уравнений.

    2. НЕКОТОРЫЕ РАЗДЕЛЫ КУРСА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

    УРАВНЕНИЙ

    .

    В данном разделе пособия приводится теоретический материал по
    ряду разделов курса дифференциальных уравнений, либо не излагав­-
    шийся на лекциях студентам, либо излагавшийся в недостаточной сте-­
    пени. Этот материал часто используется в курсовых работах и изло­-
    жение его в пособии окажет существенную помощь студентам при вы­
    полнении соответствующих заданий на курсовую работу по диффе-­
    ренциальным уравнениям. .

    .

    2.1. Численное решение жестких систем с использованием λ-преобразования

    В данном разделе предполагается рассмотреть численное реше­ние задачи Коши для специального вида жестких систем обыкновен­ных дифференциальных уравнений, которые называются сингулярно-возмущенными уравнениями, а также исследовать влияние λ-преобра-зования на численное решение задачи.

    Задача Коши заключается в определении решения у =у(t) сис­темы дифференциальных уравнений

    .

    (2.1.1)

    ,

    удовлетворяющего начальному условию

    (2.1.2)

    Решение следует отыскивать на отрезке [t 0, Т] .Коротко остановимся на понятии жесткой системы уравнений.

    Многие задачи моделирования процессов в аэродинамике, балли­стике, динамике и управлении движением самолетов и ракет, химиче­ской кинетике, в кинетике элементарных процессов атомной, молеку­лярной и ядерной физики и т.д. сводятся к численному интегрирова­нию задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Учет большого числа параметров при построении таких моделей приводит к необходимости привлечения для полного описа­ния процессов на любом отрезке наблюдения явления двух видов фун­кций: убывающих быстро и медленно. Функции первого вида убывают быстро, так что большую часть времени протекания процесса доступ­ны для наблюдения только функции второго типа, которые убывают медленно. Однако в любой момент наблюдения сохраняется возмож­ность возникновения быстрозатухающего процесса, описываемого функциями первого типа. Такое явление называется жесткостью, а си­стемы обыкновенных дифференциальных уравнений, моделирующие процессы такого типа, называются жесткими системами уравнений.

    Отметим, что жесткость задачи является свойством математиче­ской модели и не связана с используемым численным методом. Жес­ткость задачи является математическим отражением того факта, что в соответствующем физическом объекте протекают процессы с сущест­венно различными скоростями.

    Характерным для всех жестких систем является такое поведение решения задачи Коши, при котором компоненты первого типа претер­певают либо быстрые начальные изменения, либо значительные изме­нения на некотором участке наблюдения (пограничном слое).

    Необходимость выделения данного вида уравнений в отдельный класс вызвана трудностями их численного интегрирования классиче­скими методами, например явными одношаговыми и многошаговыми методами. Выяснилось, что малый шаг интегрирования, используе­мый для воспроизведения быстропротекающих процессов в погра­ничном слое, не может быть увеличен вне пограничного слоя, хотя производные становятся существенно меньше. Даже незначитель­ное превышение некоторой величины шага, определяемой данным методом и решаемым уравнением, приводит к резкому возрастанию погрешности. В самом деле, как показано, например, в работе [1], для того, чтобы обеспечить абсолютную устойчивость задачи Коши (2.1.1), (2.1.2), необходимо использовать такой шаг интегрирования h, при ко­тором каждое из, вообще говоря, комплексных значений Hi=i, (i = 1,..,п ), где λi — собственное значение матрицы Якоби ∂ƒ/∂у, ле­жало бы внутри области абсолютной устойчивости. Таким образом, для методов с ограниченной областью устойчивости длина шага ли­митируется порядком величины наименьшей временной постоянной



  • Случайные файлы

    Файл
    66531.rtf
    174615.rtf
    45709.rtf
    46069.rtf
    28799-1.rtf




    Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
    Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
    Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.