(2.2.5)


v(l) + v'(l) = 0, 2v(3) + 3v'(3) = 0. Используя найденную функцию Грина, решить краевую задачу

l(v)=x2,

Решение. Сначала найдем решения v1 , v 2 ДУ l (v) = 0 , удовлет­воряющие начальным условиям (2.2.5), т.е. условиям


ДУ l( v ) = 0 является в данном случае уравнением Эйлера, поэто­му стандартным образом находится общее решение этого уравнения, а затем и искомая ФСР. В результате получим

Отсюда по формуле (2.2.6) получаем


vl(x)=2x-1-x-2, v2(x)=x-1-x-2

Отсюда





а из формулы (2.2.4)







Так как (0) 0, то по замечанию 2 к теореме 2.2.2 оператор L обратим. Таким образом, существует (и единственна) соответствую­щая ему функция Грина G (х , ,), определяемая теоремой 2.2.2.

Найдем вспомогательные функции W, g и Н, пользуясь форму­лами (б)—(г). Имеем



а из формулы (2.2.4)


Пример 2.1. Свести к интегральному уравнению краевую задачу



где a, bR,a0, b0, c>0, H0.

  1. Найти все собственные значения и собственные функции соот-­
    ветствующего оператора L .

  2. Определить функцию Грина оператора L-I при условии, что

(-,b2),и с ее помощью решить уравнение Lu+u=f, где f(x) cosx .

Решение. 1. Общее решение ДУ -a2v" + b2v = 0 определяется по формуле

vобщ (x) = C1 ch x + С2 sh х ,

где . Отсюда следует, что краевая задача



Случайные файлы

Файл
177309.rtf
ьев.doc
92074.rtf
161643.rtf
BERDJAEV.DOC