Указание. Применить равенство


14. (А, В, Г) -(x2+l)v"-2xv' + 2v = v+x2, 0 х 1,

(В при = 0) v'(0) = 0, v(1)-v'(1) = 0.

15. (А, В, Г) -exx v"-2xexx v' = exsin2x, 0 x 1,

v(0)-2v'(0) = 0, v(1) = 0.

16. (А, Б, В, Г)

= С

17. (А, Б, В, Г, Д) v" + 9v = 2x sin x+x e3x, 0 x /6 ,


= C v(0) = 0, v(/6)=0.

18. (А, В, Г) v(4)-2v''' + v''=x3, 0 х 1,

v(0) = 0, v'(0) = 0, v(l) = 0, v'(l) = 0.

19. (А, Б, В, Г, Д) v" + v' = sin2x, 0 x 1,
= C v'(0) = 0, v(1) = 0.

20. Сформулировать и доказать основные утверждения метода
Грина для краевых задач вида




Указание. Использовать аналогию с методом Грина исследования краевых задач для линейных ДУ высших порядков.

В следующих вариантах решить заданную краевую задачу мето­дом конечных разностей. При этом использовать приведенные в разд. 2.2 схемы решения этим методом линейных и нелинейных крае-

вых задач. Расчет провести с шагами 0,1; 0,01 и 0,001 (по возможно­сти). Для решения системы разностных уравнений использовать метод прогонки в линейном случае или метод Ньютона в нелинейном случае. В линейном случае указать оценку погрешности приближенного реше­ния. Представить полученные приближенные решения таблично и гра­фически.

21.


  1. v''-ex v=x2 (1 x 2) , v'(1)=v(2)=0.

  1. Краевая задача 8. Сравнить с точным решением (таблично и
    графически).

  2. Краевая задача 10. Сравнить с точным решением (таблично и
    графически).

  3. Краевая задача 15. Сравнить с точным решением (таблично и
    графически).

  4. xv')' = v+v2 (0 x 1), v(0)=0, v(1)=1.

  5. x v')'=xv3 (0 x 1), v(0)=1, v(1)=0.

  6. ((1+x2)v')' = v +v2 (0 x 1), v(0)=1, v(1)=4.

  7. ((1+x2)v')'=xv3 (0 x 1), v'(0)=1, v(1)=5.

  8. v"= ev + 2 - ex (0 x 1), v(0)=0, v(1)=1.

33. Найти стационарную форму v(x) (0 х 1) неоднородной струны, жестко закрепленной на концах (0,0) и (1,0). Линейная плот­ность струны (x)=1+sin2x. Струна находится во внешней упругой среде с плотностью силы сопротивления -q(x)v. Кроме того, на струну действует внешняя сила с плотностью f(х) = x2.

Указание. Данная задача моделируется краевой задачей вида

34. Задача 33 в случае р (х) = ех , q (x) = sin 2 x , f(x) 1.

52

53