Здесь h = tm+1 - tm — шаг интегрирования, который принимается по­стоянным. Известно 12], что это метод первого порядка точности.

Метод второго порядка, который иногда называется модифициро­ванным методом Эйлера, определяется соотношениями


разрешаем ее с учетом равенства (2.1.10) относительно производных. При этом получаем новую формулировку задачи Коши:

(2.1.8)



где k=f(xm,ym).

Наконец, метод четвертого порядка — классический метод Рунге — Кутты описывается системой следующих пяти соотношений:











Под -преобразованием будем понимать преобразование, форму­лирующее задачу Коши (2.1.1), (2.1.2) относительно аргумента , ко­торым является длина интегральной кривой задачи (2.1.1), (2.1.2). Тог­да, согласно смыслу элемента дуги , дифференциал d должен удовлетворять равенству


, которое, учитывая, что у является вектор-функцией у=(у1,…,уn)т, можно записать в виде

(2.1.10)


Здесь предполагается суммирование по индексу i в оговоренных пре­делах.

Полагая, что у и t являются функциями аргумента, и представляя систему (2.1.1) в виде






14


(2.1.11)


Здесь предполагалось, что аргумент, отсчитывается от начальной точки задачи (2.1.1), (2.1.2).

Таким образом, -преобразованием называется переход от задачи (2.1.1) (2.1.2) к задаче (2.1.11). Некоторые свойства этого преобразова­ния обсуждаются в [3].

2.2. Методы исследования краевых задач

2.2.1. Определения краевых задач

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений (ДУ) вида

(2.2.1)

где


Краевой задачей для системы (2.2.1) называется задача нахожде­ния такого решения этой системы, которое удовлетворяет n до­полнительным условиям в нескольких точках отрезка [а,b] .

Понятие краевой задачи для дифференциального уравнения вы­сшего порядка вводится аналогично.

Например, краевой задачей является задача



где и — некоторые постоянные. Эта краевая задача является двух­точечной (по числу точек отрезка [ a , b ], в которых задаются допол-

15



Случайные файлы

Файл
29665.rtf
referat.doc
178231.rtf
158732.rtf
work.doc