тода — Ритца и Галеркина. Подробнее о проекционных методах можно прочитать, например, в [2, 5, 8, 9].

В качестве основных примеров рассматриваемых здесь краевых за­дач будем использовать те же два типа краевых задач, что и в разд. 2.2.2 (см. (2.2.15), (2.2.14) и (2.2.3) при 1=1=0.

Классическими примерами наборов базисных функций в случае краевых условий v (0) =, v(l) = (без ограничения общности мож­но считать, что а = 0, 0=0=1) являются наборы:






Эти кусочно-линейные сплайн-функции ni (х) (i = 1 ,2, . . . ,п — 1 , n = 2 , 3 ,...,) называются функциями-крышками. Очевидно, что

ni (0)= ni (l)=0


где (или любая гладкая функция 0(х), удовлет-

воряющая краевым условиям 0 (0) = , 0 (l) = ).

В случае краевых условий более общего вида (2.2.14) гладкая функция 0 (x) выбирается с единственным условием, чтобы она удовлетворяла этим краевым условиям. Функции i (x) , i = 1 , 2,... в этом случае должны удовлетворять однородным краевым условиям (2.2.14) (т.е. при ==1). В качестве таких функций могут быть вы­браны бесконечные последовательности линейно независимых триго­нометрических полиномов или обычных полиномов. Такие полиномы надо подбирать, что является недостатком проекционных методов.

Вычисления при реализации метода Ритца или Галеркина сущест­венно упрощаются, если в качестве базисных функций использовать сплайн-функции. В этом случае проекционные методы носят название проекционно-разностных методов, поскольку они «наследуют» ряд (привлекательных) свойств конечно-разностного метода.

Сплайн-функции на отрезке [ а , b] — это кусочно-полиномиаль-

г.

ные функции из некоторого класса С k [а,b]. Мы ограничимся рас­смотрением наиболее простых кусочно-линейных сплайн-функций. Как и в разд. 2.2.3, будем считать, что задано некоторое nN или , а значит, определены узлы хi = а + h i ( i = 0 , 1 , . . . , п ) за-

данного отрезка [ а , b ]. Тогда в качестве базисных функций можно взять набор

Будем искать приближенное решение и (х) линейной краевой за-

дачи

(2.2.31)


v" + p(x)v' + q(x)v = f(x), 0xl,

v(0)=, v(l)=

в виде

(2.2.32)



Здесь 0, 1 ,…, N — выбранные базисные функции; с1 , . . . N — некоторые постоянные, которые определяются ниже. Очевидно при этом, что u(0) =, u(l) = .

Определим невязку r(х) приближенного решения и (х ) :

(2.2.33)

В методе Галеркина коэффициенты с1 , . . . N в формуле (2.2.32) выбираются из условия, чтобы невязка r(х) была ортого­нальна базисным функциям 1 ,…, N, т.е.

(2.2.34)



Подставляя в равенство (2.2.34) выражение (2.2.33) для невязки

r(х), имеем

36

37


Случайные файлы

Файл
135867.rtf
22709.rtf
30661.rtf
47936.rtf
35560.rtf