Вопрос об оценке погрешности полученного таким образом при­ближенного решения vi (0in ) для нелинейных краевых задач ви­да (2.2.23) является в общем случае слишком сложным.

Пример 4. Решить методом конечных разностей нелинейную кра­евую задачу

Решение. Данная краевая задача является частным случаем крае­вой задачи вида (2.2.23), где а(х) 1 , g (х ,) = 3+ 10+x2 и эти функции, очевидно, удовлетворяют условиям (2.2.24). Таким образом, можно применить предложенную выше схему решения краевой задачи вида (2.2.23).

Матрица А и вектор-функция Н(v) в данном случае определяют­ся формулами








(2.2.30)


В приведенной ниже табл. 2 даны результаты решения методом Ньютона системы (2.2.27), (2.2.30) при п = 10, 100 и 1000 (h = 0,1; 0,01 и 0,001). Значения этих решений даны в узлах 0,1, 0,2, ..., 0,9.

Таблица 2



x

h =0,1

h =0,01

h = 0,001

0,1

-0,0058

-0,0058

-0,0058

0,2

-0,0116

-0,0118

-0,0118

0,3

-0,0174

-0,0176

-0,0176

0,4

-0,0223

-0,0230

-0,0230

Окончание табл. 2



x

h = 0,1

h = 0,01

h = 0,001

0,5

- 0,0274

- 0,0276

- 0,0276

0,6

- 0,0302

-0,0304

- 0,0304

0,7

- 0,0303

- 0,0305

-0,0305

0,8

- 0,0265

-0,0266

-0,0266

0,9

-0,0170

-0,0171

-0,0171

Во всех случаях ( n = 10 , 10 , 1000) в качестве начального прибли-

жения для метода Ньютона брался вектор v0 = 0 , а итерации прекра-

щались, когда все координаты вектора поправки уk (см. выше шаг 1 k-й итерации) становились меньше по абсолютной величине, чем 10-6.

Используя табл. 2 значений приближенных решений данной кра­евой задачи, нетрудно построить их графики.

2.2.4. Проекционные методы

К проекционным методам относятся методы Ритца, Галеркина, наименьших квадратов и их модификации. В настоящее время эти методы стали эффективным средством построения приближенных ре­шений линейных и нелинейных краевых задач для ДУ и уравнений с частными производными.

В основе проекционных методов лежит идея аппроксимации иско­мого решения краевой задачи конечной линейной комбинацией задан­ных базисных функций. Точнее, искомое решение, лежащее в беско­нечномерном функциональном пространстве (например, в С п [а, b]) аппроксимируется решением вспомогательной задачи. Эта вспомога­тельная задача получается «проектированием» исходной задачи на ко­нечномерное подпространство, определяемое базисными функциями. При этом в качестве базисных функций обычно выбираются наиболее простые и удобные — полиномы, тригонометрические функции, сплайн-функции и т.д.

В отличие от метода конечных разностей, основанного на локаль­ных (дифференциальных) приближенных отношениях, в проекцион­ных методах приближенное решение строится на основе глобальных (интегральных) отношений.

Из-за ограниченности объема данных методических указаний рас­смотрим кратко два наиболее часто используемых проекционных ме-


34

35


Случайные файлы

Файл
158441.rtf
154899.rtf
12799.rtf
sokrat.doc
38685.rtf