X(t,t0) этой системы был ограничен при t>t0; для асимптоти­ческой устойчивости — чтобы этот матриацант удовлетворял условию

, а для неустойчивости — чтобы этот матриацант был неограниченным.

Поскольку матриацант X(t,t0) не зависит от начального значе­ния x(t0), решения линейной системы все одновременно или устой­чивы, или неустойчивы. Исходя из этого линейную систему (2.3.3) на­зывают обычно устойчивой, асимптотически устойчивой или неустой­чивой в зависимости от того, являются ли ее решения устойчивыми, асимптотически устойчивыми или неустойчивыми.

Если в системе уравнений (2.3.3) матрица A (t) =A не зависит от t, т.е. постоянная, то условия устойчивости ее решений определяются собственными числами матрицы А.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.3.2. Решения линейной однородной системы диффе­ренциальных уравнений с постоянными коэффициентами тогда и только тогда являются:

  • устойчивыми, когда действительные части собственных чисел
    матрицы системы неположительные, причем числам с нулевой дейст-­
    вительной частью соответствуют одномерные клетки Жордана в жор-
    дановой форме матрицы, т.е. таким числам соответствуют простые
    элементарные делители;

  • асимптотически устойчивыми, когда действительные части
    собственных чисел матрицы системы отрицательны;

  • неустойчивыми, когда хотя бы одному собственному числу с
    нулевой действительной частью соответствует неодномерная клетка
    Жордана (такому числу соответствует непростой элементарный дели­-
    тель) либо когда среди собственных чисел матрицы системы имеется
    хотя бы одно число с положительной действительной частью.

Условия, при которых действительные части собственных чисел матрицы А отрицательны, т.е. при которых решения линейной системы дифференциальных уравнений асимптотически устойчивые, выражает следующая теорема.

Теорема 2.3.3 (Теорема Рауса—Гурвица). Действительные части всех корней уравнения


отрицательны тогда и только тогда, когда положительны все главные диагональные миноры матрицы Гурвица





.





т.е. когда






Критерий устойчивости по первому приближению. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений


(2.3.4)

в которой А — постоянная матрица, f(t,x) — непрерывная по t и х (t t0, //x|| h) функция, удовлетворяющая условию

(2.3.5)


равномерно по t t0. Система уравнений с постоянными коэффициен­тами

называется системой первого приближения для системы (2.3.4).

Теорема 2.3.4. Если действительные части всех собственных чи­сел матрицы А отрицательны, а функция f (х,t) удовлетворяет равен­ству (2.3.5), то нулевое решение системы уравнений (2.3.4) асимптоти­чески устойчиво. Если же среди собственных чисел матрицы имеется хотя бы одно число с положительной действительной частью, а функ­ция f(t,x) удовлетворяет условию (2.3.5), то нулевое решение урав­нения (2.3.4) неустойчиво.

Если же среди собственных чисел матрицы А имеется хотя бы од­но число с нулевой действительной частью, а остальные — с отрица-


44

45


Случайные файлы

Файл
123879.rtf
136399.rtf
94679.rtf
3254.rtf
29716-1.rtf