35. Форма, которую принимает круглая пластинка под действием
силы, зависящей только от расстояния точки приложения от центра,
определяется ДУ


В этом ДУ — угол отклонения нормали к пластинке от первоначаль­ного положения, f(х) — действующая сила, — коэффициент Пуас­сона, Е — модуль Юнга и H — толщина пластинки.

Найти (х ) (0 x R) , если центр и край пластины наглухо за­деланы, т.е. (0) = (R) = 0, f(х)=x, = 0,5, E = 0,4, H=0,1.

36. Найти экстремаль функционала

, на функциях v С1 [0, 1 ], удов-

летворяющих краевым условиям v(0) = l/3, v(1) = 1/3e2 . Сравнить с точным решением.

Указание. Искомая функция удовлетворяет уравнению Эйлера

Указание. Искомая форма является экстремалью функционала U(v).

40.

Замечание. Эта краевая задача моделирует задачу из биофизики о концентрации кислорода в клетке (см. [5, разд. 3.1]).

В следующих задачах найти приближенное решение данной крае­вой задачи методом Ритца или Галеркина. В качестве базисных функций взять сплайн-функции (2.2.30) при h = 0,1; 0,001; 0,0001 (по возможности). В линейных задачах дать оценку погрешности прибли­женных решений. Представить найденные приближенные решения графически.

41 — 57. Взять краевые задачи 24 — 40 и заменить в них краевые ус­ловия на условия v(0) = v(l) = 0 (а = 0, b = l). В случае полного сов­падения данной задачи с задачами 24 — 40 сравнить результаты, полу­ченные методом конечных разностей и методом Галеркина (Ритца).

58. -v" + ev=x2 (0 х 1), v(0) = v(l) = 0.

59. -v" +v+ ev=ex (0 х ), v(0) = v() = 0.

60. -v" + v + arctg v = sin2 x (0 х ), v(0) = v() = 0 .

37. Решить предыдущую задачу для случая, когда


3.3. Устойчивость решений дифференциальных уравнений

F(x, v, v') = ½ v' 2 + 1/4 v4-2v , v(0) = 0, v(1) = 0.

1. Исследовать на устойчивость решение х = 1/t , t1 , уравнения

38. Решить задачу 36 при

F (х, v, v') = v' 2 + v4+12v cos 3x, v(0)=1, v(1)=2.

39. Найти стационарную форму струны v(x) (0 x 2), жестко закрепленную в точках (0,0), (2,3) и имеющую в положении v ( х ) потенциальную энергию

.

2. Доказать, что для устойчивости решений уравнения


.

где a(t) непрерывная при

чтобы

функция, необходимо и достаточно,

54

55


Случайные файлы

Файл
93554.rtf
117214.rtf
35140.rtf
31049.rtf
60649.rtf