где



Для граничных узлов х0 = а и хn = b, чтобы не выходить за пре­делы отрезка [а,b], можно положить

Решение и(х) уравнения Lu+u = cos x теперь определяется по формуле (2.2.8). Вычисляя интеграл в этой формуле, где функция G(x, ,) определяется формулой (2.2.13) при = - 1 , получаем






2.2.3. Метод конечных разностей

Рассматриваемый метод позволяет решать приближенно как ли­нейные, так и нелинейные краевые задачи. Метод конечных разностей является самым распространенным и универсальным подходом к ре­шению краевых задач. Здесь предлагается введение в этот метод. Бо­лее подробному и глубокому изложению метода конечных разностей посвящена специальная литература по численным методам (например, [2, 5, 7, 8]).

Существо метода конечных разностей решения краевых задач для ДУ (или систем ДУ) состоит в следующем. Пусть требуется найти решение v) (двухточечной) краевой задачи на отрезке [ а , b ]. За­дадим некоторое nN и определим шаг h = (b-a)/n и узлы xi = a+hi,i = 0 ,1,...,n . Вместо функции v(x),a<x<b , будем искать ее значения v(xi) узлах xi

(0<i<n). Заменим производную v' (xi) во внутренних узлах xi ( 1 i п-1), например, разностным отношением



вторую производную v'' ( 1in-l) — разностным отношением



Если теперь в ДУ и в краевые условия, определяющие данную краевую задачу, подставить в точках xi вместо производных v'(xi), v " (xi) и т.д. их приближения разностными отношениями, то получит­ся система приближенных алгебраических (конечных) уравнений от­носительно неизвестных v(xi) (0in). Решая точно эту систему, найдем числа v0 , v1 , . . . , v n. Эти числа vi и будут приближениями значений v (xi) , 0in .

Вопрос о том, насколько хороши эти приближения, зависит как от исходной краевой задачи, так и от способов аппроксимации производ­ных v' (xi) , v" (xi) и т. д. разностными отношениями (см., например, [2, 5, 7, 8]).

Рассмотрим применение метода конечных разностей на примере двух типов краевых задач.

Сначала рассмотрим линейные краевые задачи вида

(2.2.14)




где а , b , с , fC[a,b] , a(x)0 при всех x[a ,b] . Данное в краевой задаче ДУ эквивалентно ДУ

(2.2.15)



где р(х)=b(x)/a(x), q(x)=c(x)/a(x), f(x)=F(x)/a(x),axb.

Обозначим pi=p(xi), qt = (xt) , fi-=f(xi) , где х( (0in ) — узлы на отрезке [а,b], построенные выше. Заменим v'(xi) и v"( xi) во внутренних узлах следующими разностными отношениями:


- 2v(xt)

и т.д.



26


27


Случайные файлы

Файл
74254-1.rtf
92772.rtf
59669.rtf
70606-1.rtf
diplom.doc