Шпоры для экзамена (Шпоры по матану)

Посмотреть архив целиком

1. ЧР наз. сходящимся, если

КК сходимости ЧР:

// Если ряд сходится, то


3. Интегральный ПК сх.Р:


5. Признак Коши:


7. Признаки Абеля и Дирихле для ЧР:

Признак Абеля:

Признак Дирихле:

Ряд anbn сходится, если:


9. Действия над рядами.

По определению полагают:

Равенство а) имеет неформальный смысл, если оба ряюа сходятся, а равенство б) – если, сверх того, по меньшей мере один из этих рядов схо­дится абсолютно.


11. КК РС функ. ряда:


13. Признаки РС ф. рядов.

Признак Абеля: Ряд

сходится равномерно на X, если: 1) Ряд an сх. равн. на X; 2) функции bn(x) ограничены в совокупности и x образуют монотонную последовательность.

Признак Дирихле: Ряд (1) сходится равномерно на множестве X, если: 1) Част. суммы an(x) (n=1,…,N) в совокупности ограничены; 2) посл-ть bn(x) (n=1,2,…) монотонна x и равномерно на X стре­мится к нулю при n.


15. Непрерывность и lim пер.

Th:{ft; tT}, ft: X C; B-база в T. Если ft сх.равн. к f на X при базе B и функции ft непрерывны в точке x0X, то функция f: X C тоже непрерывна в этой точке.

Следствие 1: Если посл-ть функций, непрерывных на множестве, сходится на нем равномерно, то предельная функция тоже непрерывна на этом множестве.

Следствие 2: Если ряд из функций, непрерывных на некотором множестве, сходится на нем равно­мерно, то сумма ряда тоже непрерывна на этом множестве.


17. Интегрирование и lim.

Th: {ft , tT}, ft:[a,b]C; B-база T; Если функции семейства интегрируемы на [a,b] и ft сх. равн. к f на [a,b] при базе B, то предельная функция f:[a,b]C тоже интегрируема на отрезке [a,b] и

Следствие: Если ряд из интегрируемых на [a,b] ф. сх.равн., то его сумма тоже интегрируема на [a,b],


19. Характер сх. ст. ряда.

Th: Степенной ряд

сходится в круге K={zC | | zz0 | < R}, радиус которого определяется по ф-ле Коши-Адамара:

Вне этого круга ряд расходится. На любом замк­нутом круге, лежащем строго внутри круга K схо­димости ряда, степенной ряд сходится абсолютно и равномерно.


21. Дифф. и ст. рядов:

Th: Если круг KC сходимости ст. ряда

не сводится к единственной точке z=z0 , то внутри K сумма f(z) этого ряда дифференцируема, причем

Кроме того, f(z):KC можно интегрировать по любому гладкому пути :[0,1]K, и если

то


23. Ряд Тейлора.

Аналитическая в точке a ф-я f (x) в некоторой окр­естности этой точки разлагается в степенной ряд

Остаточный член в форме Лагранжа:

в форме Коши:

Основные разложения:


25. Алгебры функций.

Совокупность A вещественно (комплексно)-знач­ных функций на множестве X наз. вещественной (комплексной) алгеброй функций на X, если из f,gA и R(C) следует, что




27. Теорема Стоуна:

Пусть A – алгебра определенных на компакте K непрерывных вещественнозначных функций. Если A разделяет точки компакта K и не исчезает на K, то A является всюду плотным подмножеством простанства C(K,R).


29. Теорема Вейерштрасса:

Если f C([a,b],C), то {Pn; nN} многочленов Pn:[a,b]C, что Pn сх. равн. к f на [a,b]. При этом, если fC([a,b],R), то и многочлены Pn можно выбрать из C([a.b],R).


31. Дифф. и непр. собств. (пар).

Непрерывность: P={(x,y)R2| x[a,b], y[c,d]}. Если функция f :PR непрерывна, то ф-я

непрерывна в любой точке y[c,d].

Дифференцирование: Если на прямоугольнике P функция f непрерывна и имеет непрерывную частную производную по y, то интеграл принад­лежит к классу C(1)([c,d], R), причем


33. Пр. Вейерш.РС несоб.(пар).

Пусть f(x,y), g(x,y) интегрируемы по x на любом отрезке [a,b][a,] yY.

Если x[a,], yY | f(x,y)| g(x,y), а интеграл

сходится равномерно на Y, то интеграл

сходится абсолютно y и равномерно на мн-ве Y.


35. lim перех. под. знаком.н..

Th: Пусть f(x,y) – сем-во ф., интегрируемых хотя бы в несоб.смысле на x[a,), и пусть BY -база в Y.