МНОГО МЕТОДИЧЕК (Семинары ОИ)

Посмотреть архив целиком

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО КУРСУ

«ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ»


Занятие 1

  1. Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение.

Пусть - действительная функция действительного аргумента , которую будем интерпретировать как время.

Определение. Будем называть функцию оригиналом, если она удовлетворяет трем требованиям:

  1. и ее производная на любом конечном интервале оси имеют не более конечного числа точек разрыва 1-го рода;

  2. , при ;

  3. существуют такие постоянные и , что для всех .

Условие а) означает, что оригинал является кусочно-гладкой функцией времени ; это значит, что любой конечный интервал оси можно разбить на конечное число таких интервалов, в каждом из которых и непрерывны и в концах этих интервалов имеют конечные левые и правые пределы. Большинство практически встречающихся функций этому условию удовлетворяют.

Условие б) оправдано тем, что для физики и техники совершенно безразлично, как ведут себя рассматриваемые функции до некоторого начального момента времени, который, разумеется, всегда можно принять за момент .

Условие в) накладывает ограничение на характер роста оригинала , а именно требует, чтобы при возрастала не быстрее показательной функции. Большинство функций, встречающихся на практике, удовлетворяют и этому условию.

Каждому оригиналу (комплексному или действительному) поставим в соответствие функцию комплексного переменного , определенную как интеграл

.

Правая часть этого равенства называется интегралом Лапласа для функции . Функцию будем называть изображением Лапласа (или короче – изображением) оригинала .

Тот факт, что функция является изображением оригинала , будем записывать так или (верхняя точка всегда ближе к оригиналу или и , где стрелка направлена всегда от изображения к оригиналу).

При этом условимся обозначать оригиналы малыми буквами, а изображения – соответствующими прописными буквами.

Пример 1.

Найти изображение единичной функции Хевисайда, которая обозначается и определяется в соответствии с равенством:

Пользуясь определением изображения, находим , при .

.

Итак: .



Пример 2.

Найти изображение функции .

Имеем
=, т.к. .

Действительно,

при ;

(в дальнейшем предполагается, что этому условию удовлетворяет); а если модуль комплексного переменного стремится к «0», то и само это переменное стремится к «0».

Итак, имеем формулу

.

Пользуясь этой формулой, найдем:

; ; ; .

В условии задачи и в формуле предполагается, что - действительное число. Но эту формулу нетрудно обобщить на случай комплексного ; нужно будет только соответствующим образом выбрать .

В дальнейшем будем считать, что все рассматриваемые нами функции снабжены множителем , хотя сам этот множитель будем опускать.

Так, например, мы можем писать и т.д., подразумевая при этом соответственно и т.д.


  1. Составление таблицы оригиналов и изображений

На лекции были получены формулы:

; ; ; .

Продолжим составление таблицы.

Пример 3.

Найти изображение функции

.






По определению

.

Отыскание изображения здесь довольно громоздкая операция. Найдем изображение иначе:

=

.

, в частности .

Пример 4.

Аналогично найдем изображение функции .

=.

, в частности .







Найти изображения функций , применяя выведенные формулы.

, т.к. 1, то 5.

, т.к. 2, ,

то ;

;

;

;

;

.

Ответ:

;

;

;

;

.



3. Теорема смещения

(на лекции доказана)

Если ,

то

С помощью этой теоремы можно расширить нашу таблицу

- формула была выведена непосредственно.


Найти изображения функций:

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ;

  8. .

Ответ:

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ;


Найти функции (оригиналы) по их изображениям:

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ;

  8. ;

  9. ;

  10. ;

  11. ;

  12. .

Ответ:

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ;

  8. ;

  9. ;

  10. ;

  11. ;

  12. .


Таблицу заучивать не обязательно, но поупражняться с таблицей необходимо. В процессе этих упражнений формулы сами запомнятся.


На дом. Найти изображения функций

(вывести табличные формулы)

С помощью этих формул:

а) найти изображения функций:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. .

б) найти оригиналы по заданным изображениям:

1.

2.

3.

4.

5.

6.






Занятие 2.

  1. Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.


Прежде чем приступить к решению дифференциальных уравнений, вспомнить теорему о дифференцировании оригинала.

Если ,

то

и т.д.

Например:

а)

т.е.

б)

т.е.

Пример 1.

Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение:


;

, .

Решение:

- искомое решение

- изображение этого решения

+

- изображающее уравнение является алгебраическим уравнением 1-ой степени относительно .

(для отыскания оригинала пока пользуемся только разложением дроби на простейшие)

, так как ;

получим

- это и есть решение дифференциального уравнения, причем частное решение, так как заданы начальные условия и . При произвольных и полученная формула выражает общее решение уравнения, где роль произвольных постоянных играют коэффициенты ; . Здесь - общее решение соответствующего однородного уравнения, - частное решение данного неоднородного уравнения. Заметим, что общее решение получено в форме, удобной для дальнейшего применения, т.к. произвольные постоянные и явно выражены через начальные условия и , и для отыскания частного решения не нужно выполнять никаких дополнительных вычислений.


Пример 2.

Решить уравнение:

,

Решение:

,

, 2

,

=

=

Ответ:

Пример 3.

Решить уравнение:

Решение:


Ответ:

Пример 4. (Пример для самостоятельного решения)


Решить уравнение:

,

Решение:

Ответ:

  1. Чтобы решать более сложные уравнения нужно лучше владеть техникой отыскания оригиналов и изображений. Продолжим изучение теорем.


  1. Теорема о дифференцировании оригинала:


если ,

то ,

и т.д.

Эту теорему мы уже использовали.


  1. Теорема об интегрировании оригинала.

Если ,

то

т.е. интегрированию оригинала соответствует деление на изображения. Эта теорема используется обычно для отыскания оригинала по изображению.

а)

Так как ,

б)

в) ≓ ?

Найдем оригинал , затем


  1. Теорема о дифференцировании изображения.


Если ,

то

а)

(формула была известна ранее)

Зная, что

б)

Аналогично выводится

Найдем

Или

в)

;


  1. Теорема об интегрировании изображения.


Если ,

то

а)

б)

Если функцию нетрудно проинтегрировать, то иногда с помощью такого интеграла можно найти оригинал.

  1. - оригинал мы не знаем.

Следовательно

Следовательно

Решать все примеры не обязательно

1 час – решение уравнений,

2 час – теоремы (применение)

Можно дать на каждую теорему 2-3 примера. Если остается время остальные примеры предложить для самостоятельного решения.

На дом:

  1. ,

Ответ:

  1. ;

Ответ:

  1. Найти изображения и оригиналы:

а)

б)

в)

  1. а)

б)

в)























Занятие 3

  1. Повторение прошлой темы.

Пример 1.

Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение:

.

Решение:


,

,

; ;

;

.

.



  1. Теорема свертывания

(Возможно, что теорема была доказана на лекции не во всех группах)

Сверткой двух функций и называется функция

, оригинал, которой находится по формуле:

(какую функцию назвать первой, а какую второй – безразлично)

Если , , то

Пример 1.

Решить уравнение:

?

Решение:

; ,


Случайные файлы

Файл
425.doc
123225.rtf
124710.rtf
27053-1.rtf
147003.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.