Спектры элементарных возбуждений в двупериодических одномерных системах (63773)

Посмотреть архив целиком

Содержание


Введение

Глава 1. Электронный спектр двустеночной углеродной нанотрубки

Глава 2. Проводимость двустеночной углеродной нанотрубки

Выводы

Список использованных источников

Приложение


Введение


Современная металло-оксидно-полупроводниковая микроэлектроника фактически достигла пределов быстродействия и степени интеграции. Дальнейшее развитие электроники связывают с уменьшением размеров устройств до наномасштабов с использованием новой элементной базы. Поэтому на сегодняшний день большой интерес вызывают так называемые квазиодномерные системы, примерами которых являются полимеры, нанотрубки на основе углерода, кремния и других материалов. В настоящее время нанотрубки уже выпускаются серийно многими фирмами, например, SES Research, Carbon Solutions Inc., Helix Material Solutions в США.

Нанотрубки бывают одностеночными и многостеночными. Одностеночная нанотрубка представляет собой графитовую плоскость, различным образом свернутую в цилиндр. Она характеризуется так называемыми индексами хиральности, и в зависимости от этих индексов может быть как металлом, так и полупроводником. Диаметр такой трубки порядка нанометров, а длина достигает микрометров, поэтому она занимает промежуточное положение между молекулой и кристаллом, что проявляется в наличии специфических свойств, в частности, зонной структуры в спектре электронов. Одностеночные нанотрубки уже достаточно хорошо изучены.

Многостеночная нанотрубка представляет собой либо несколько одностеночных трубок, вложенных друг в друга, либо графитовую плоскость, свернутую в несколько слоев в виде свитка, либо цилиндрическую структуру, составленную из небольших графитовых фрагментов и напоминающую папье-маше. В отличие от одностеночных, свойства многостеночных нанотрубок изучены намного хуже.

Целью данной работы является исследование спектров элементарных возбуждений двупериодических одномерных систем, примером которых являются двуслойные углеродные нанотрубки. Для этого с помощью метода сильной связи рассматривается спектр упрощенной модели нанотрубки в виде двух параллельных цепочек атомов, определяется уровень Ферми такой системы и исследуется ее проводимость. Все вычисления производились в программе, написанной на языке C++ в среде Microsoft Visual Studio 2008 с использованием библиотек Win32.


Глава 1. Электронный спектр двустеночной углеродной нанотрубки


Для исследования электронного спектра двустеночной углеродной нанотрубки воспользуемся моделью, в которой нанотрубка представляет собой две параллельные регулярные цепочки атомов с разными периодами. При этом, однако, в силу периодичности системы будем пользоваться результатами теоремы Блоха, поэтому необходимо потребовать, чтобы отношение периодов цепочек выражалось рациональной дробью.

Сначала рассмотрим систему, представляющую собой линейную цепочку атомов, расстояние между которыми а, и определим энергетический спектр электрона в такой системе.

Будем пользоваться приближением сильной связи и искать волновую функцию электрона в виде:


,в (1.1)


где - волновая функция электрона на изолированном n-ом атоме цепочки. Для удобства обозначим . Далее, минимизируя функционал энергии при условии нормировки волновых функций :


(1.2)


получим:


(1.3)


Выделим в потенциальной энергии слагаемые с и воспользуемся тем, что решения для электронов на изолированном атоме известны:


, (1.4)


где - обменный интеграл. Далее учтем, что в методе сильной связи он считается ненулевым только для ближайших соседей, и получим:


(1.5)


(1.6)


В силу трансляционной симметрии волновую функцию можно выбрать так, чтобы она удовлетворяла теореме Блоха, тогда коэффициенты будут иметь вид . Подставим их в (1.6) и получим выражение для энергетического спектра электрона:



(1.7)


где - энергия основного состояния электрона в изолированном атоме, к – волновой вектор.

Теперь рассмотрим две такие цепочки атомов, расположенные на некотором расстоянии d друг от друга. Расстояние между атомами в первой цепочке по-прежнему a, во второй – b. Если пренебречь возможностью перескока электрона с одной цепочки на другую, то собственные волновые функции электронов будут иметь следующий вид:

- описывает движение электрона с энергией по первой цепочке;

- описывает движение электрона с энергией по второй цепочке;

Теперь учтём, что при таком расположении цепочек появляется вероятность перескока электрона с одной из них на другую. Тогда в гамильтониане системы появятся недиагональные вклады:


, (1.8)


где - матричные элементы оператора взаимодействия, ответственного за перескок электронов. Считая его достаточно малым, вычислим поправки к энергии, воспользовавшись теорией возмущения для вырожденного уровня. Волновую функцию системы представим в виде линейной комбинации . Тогда соответствующее секулярное уравнение примет вид:


(1.9)


Отсюда получим энергию нашей системы:


(1.10)


Уровень Ферми в такой системе расщепляется. Это следует из того, что значения интегралов перекрытия γ1 и γ2 принимают разные значения, вследствие этого происходит перекрытие зон. Формула для энергии уровня Ферми упростится, если мы будем считать, что на нем выполняется условие:


(1.11)


и примет вид:


(1.12)


Осталось вычислить . Очевидно, что вероятность перескока электрона с одной цепочки на другую определяется расстоянием между атомами этих цепочек и быстро убывает с его ростом. Поэтому смоделируем в таком виде:


(1.13)


Значение этого выражения определяется численно в программе. Импульсы k и p на уровне Ферми определяются из условия равенства энергий (1.11). Значения интегралов перекрытия брались из [1], [2].


Глава 2. Проводимость двустеночной углеродной нанотрубки


Как было показано в [3], в упрощенной модели одностеночной трубки, представляющей собой линейную цепочку атомов, сила протекающего через нее тока определяется выражением:


, (2.1)


где U- напряжение, приложенное к концам трубки, L – ее длина, τ – время релаксации электронов, n – их концентрация. После простых преобразований получим:


(2.2)


Так как мы рассматриваем идеальную систему, то рассеяние электронов при движении может происходить только на контактах. Тогда время релаксации электронов можно определить так:


(2.3)


Тогда формула приобретет простой вид:


(2.4)


Видно, что электрическое сопротивление одностеночной нанотрубки обладает уникальным свойством – оно не зависит от геометрических размеров и определяется величиной - квантом сопротивления (формула Ландауэра [4], [5]). Такое сопротивление называется баллистическим.

Рассмотрим теперь проводимость двустеночной нанотрубки.

В предыдущей главе было показано, что гамильтониан системы из двух линейных регулярных цепочек атомов с учетом их взаимодействия имеет вид:


(2.5)


Собственными волновыми функциями такого гамильтониана будут функции:


, (2.6)


Волновую функцию электрона, влетающего в первую цепочку, представим в виде линейной комбинации этих волновых функций:


(2.7)


Рассмотрим теперь эволюцию этой волновой функции во времени. По правилам квантовой механики, получим:


, (2.8)


где под Δ для удобства обозначено |Γkp|.

Учитывая ортогональность функций Ψ1 и Ψ2, которые для электронов имеют вид блоховских функций, следуя [6], получим для средней скорости первого электрона на уровне Ферми:


(2.9)


или, с учетом того, что


(2.10)


То есть, скорость электрона на уровне Ферми является суперпозицией двух слагаемых, в которых присутствуют скорости на уровне Ферми для первой изолированной цепочки и для второй. Аналогично, для второй цепочки:


(2.11)


Рассмотрим два граничных случая, когда и .

В первом случае усреднением заменяем и на 1/2:


(2.12)


Во втором случае , :


(2.13)

(2.14)


Сразу видно, что во втором случае в выражении для времени релаксации электронов не будет никаких изменений, не изменится вид формулы (2.2), а значит, и формула Ландауэра не изменится.

Рассмотрим подробнее первый случай. Проводимость системы из двух параллельных одностеночных трубок определяется выражением:


(2.15)


Проводимость двустеночной трубки:


(2.16)


Видно, что и в этом случае формула Ландауэра остается справедливой.



Выводы


Целью данной работы было исследование электронного спектра и проводимости в двустеночных нанотрубках. С помощью упрощенной модели, представляющей собой две параллельные регулярные цепочки атомов, было показано, что в таких нанотрубках происходит перекрытие зон, что приводит к изменению положения уровня Ферми, а также его расщеплению. Величина этого расщепления была определена численно в программе, листинг которой приведен в приложении. При реалистичных значениях параметров расщепление оказалось достаточно малым, порядка 10-5 эВ. При этом изменяется и скорость электронов на уровне Ферми. Очевидно, что в такой идеальной системе рассеивание электронов должно происходить на контактах, поэтому время релаксации будет зависеть только от средней скорости движения электронов. Было проанализировано выражение для средней скорости движения электронов и показано, что в предельных случаях высоких и низких частот в двустеночных системах формула Ландауэра остается справедливой.






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.