Задача № 45.


Частица массой находится в одномерной потенциальной яме с непроницаемыми стенками во втором возбуждённом состоянии. Найдите среднее значение кинетической энергии частицы , если ширина ямы равна .


Решение:


Вид потенциальной ямы представлен на рисунке 1:


Рисунок 1

Составим уравнение Шредингера для области :


(1)


или в виде:


(2)


где . Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:


(3)


Используем естественные условия, накладываемые на пси-функцию. Так как в области потенциальная энергия равняется бесконечности, то частица находиться в области не может. Следовательно, плотность вероятности, а, значит, и пси-функция в области равны нулю. Из условия непрерывности пси-функции для точки получим:



Аналогично, из условия непрерывности пси-функции для точки получим:



Тогда пси-функции собственных состояний частицы в данной потенциальной яме имеют вид:


(4)


Учитывая, что , получим:


(5)


Мы получили энергетический спектр частицы в потенциальной яме. Определим постоянную в выражении для пси-функции (4), используя условие нормировки:


(6)


Тогда пси-функции собственных состояний имеют следующий вид:


(7)


Во втором возбуждённом состоянии (так как - это основное состояние, - первое возбуждённое), поэтому пси-функция второго возбуждённого состояния имеет вид:


(8)


Из постулатов квантовой механики среднее значение какой-нибудь физической величины в состоянии, описываемом пси-функцией , определяется следующим образом:


(9)

где - оператор физической величины , а - функция, сопряжённая к пси-функции . Операторы проекций импульса на координатные оси x,y,z имеют вид:


(10)


Формулы, связывающие физические величины в классической физике, в квантовой физике справедливы для операторов этих физических величин. Поэтому мы можем записать:


(11)


Операторы квадрата импульса и кинетической энергии связаны выражением:


(12)


В нашем одномерном случае оператор кинетической энергии имеет вид:


(13)


Тогда среднее значение кинетической энергии во втором возбуждённом состоянии определяется выражением:


(14)


Ответ: