Задача № 27.


Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, имеющими ширину . В каких точках интервала плотность вероятности обнаружения частицы одинакова для основного и второго возбуждённого состояний?


Решение:


Частица находится в потенциальной яме, имеющей вид (рисунок 1):




Рисунок 1

Составим уравнение Шредингера для области :


(1)


или в виде:


(2)


где . Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:


(3)


Воспользуемся естественными условиями, накладываемыми на пси-функцию. В области, где потенциальная энергия равна бесконечности, частица находиться не может, поэтому плотность вероятности нахождения частицы, а значит и пси-функция в этих областях () равны нулю. Имея в виду этот факт и условие непрерывности пси-функций, получим:



Тогда пси-функция примет вид:


(4)

Учитывая, что , получим:


(5)


Мы получили энергетический спектр частицы, находящейся в потенциальной яме заданного вида. Определим коэффициент A в выражении (4), используя условие нормировки:


(6)


Пси-функции собственных состояний частицы в потенциальной яме:


(7)



Пси-функция основного состояния :


(8)


Значит, плотность вероятности нахождения частицы в основном состоянии:


(9)


Аналогично, для второго возбуждённого :


(10)


(11)


Для того, чтобы узнать, в каких точках интервала плотность вероятности местонахождения одинакова для основного и второго возбуждённого состояний, приравняем выражения (9) и (11):


(12)


Решая это уравнения на интервале , находим решения: .

Графики плотностей вероятностей приведены на рисунке 2:


Рисунок 2



Ответ:


.








Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.