Задача № 50.


Найдите средние значения кинетической и потенциальной энергий квантового осциллятора с частотой в основном состоянии, описываемом волновой функцией , где - некоторая постоянная, а - масса осциллятора.


Решение:


Из постулатов квантовой механики следует, что среднее значение некоторой физической величины в состоянии, описываемом пси-функцией , определяется следующим образом:


(1)


где - оператор физической величины , а - функция, сопряжённая к пси-функции . А среднее значение некоторой функции координат определяется так:


(2)


Найдём оператор кинетической энергии. Операторы проекций импульса на координатные оси x,y,z имеют вид:


(3)


Формулы, связывающие физические величины в классической физике, в квантовой физике справедливы для операторов этих физических величин. Поэтому мы можем записать:


(4)


Операторы квадрата импульса и кинетической энергии связаны выражением:


(5)


где - масса частицы. В нашем одномерном случае оператор кинетической энергии имеет вид:


(6)


Пси-функция, описывающая состояние квантового осциллятора, имеет вид:


(7)


Из условия нормировки определим постоянную :


(8)


Тогда пси-функция (7) примет вид:


(9)


Найдём среднее значение кинетической энергии квантового осциллятора, подставив в выражение (1) оператор кинетической энергии (6) и пси-функцию (9):


(10)


Потенциальная энергия квантового осциллятора имеет вид:


(11)


Подставив в выражение (2) вид потенциальной энергии м пси-функцию (9), найдём среднее значение потенциальной энергии:


(12)


Ответ:


,


.










Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.