Задача № 30.


Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найдите отношение вероятностей нахождения частицы в средней трети ямы для первого и второго возбуждённых состояний.


Решение:


Пусть сторона ямы равна .

Частица находится в потенциальной яме, имеющей вид (рисунок 1):




Рисунок 1

Составим уравнение Шредингера для области :


(1)


или в виде:


(2)


где . Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:


(3)


Воспользуемся естественными условиями, накладываемыми на пси-функцию. В области, где потенциальная энергия равна бесконечности, частица находиться не может, поэтому плотность вероятности нахождения частицы, а значит и пси-функция в этих областях () равны нулю. Имея в виду этот факт и условие непрерывности пси-функций, получим:



Тогда пси-функция примет вид:


(4)

Учитывая, что , получим:


(5)


Мы получили энергетический спектр частицы, находящейся в потенциальной яме заданного вида. Определим коэффициент A в выражении (4), используя условие нормировки:


(6)


Пси-функции собственных состояний частицы в потенциальной яме:


(7)


В первом возбуждённом состоянии (так как соответствует основному состоянию). Тогда пси-функция первого возбуждённого состояния равна:


(8)


Плотность вероятности нахождения частицы в этом состоянии определяет квадрат модуля пси-функции:


(9)


Аналогично для второго возбуждённого состояния пси-функция и плотность вероятности равны:


(10)


(11)


Вероятности нахождения частицы в средней трети потенциальной ямы для первого и второго возбуждённых состояний найдём, интегрируя (9) и (11) по пределам :




Тогда



Ответ:


.












Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.