Задача № 40.


Частица массой , обладающая энергией , падает на прямоугольную потенциальную яму шириной и глубиной . Найдите коэффициент прохождения ямы для этой частицы, а также значения энергии , при которых частица будет беспрепятственно проходить через яму.


Решение:


На рисунке 1 представлена потенциальная яма, глубиной и шириной , на которую падает частица, обладающая энергией :


Рисунок 1

Составим уравнения Шредингера:


Для области 1: (1)


Для области 2: (2)


Для области 3: (3)


или в виде:


Для области 1: (4)


Для области 2: (5)


Для области 3: (6)


где , . Решения дифференциальных уравнений (4), (5) и (6) имеют вид:




(7)


(8)


(9)


В выражениях (7), (8) и (9) первое слагаемое – это дебройлевская волна, направление распространения которой слева направо, а второе слагаемое – дебройлевская волна, которая распространяется в обратном направлении. Учитывая тот факт, что за потенциальной ямой существует только прошедшая волна, получим, что коэффициент , поэтому выражение (9) примет вид:


(10)


Используем естественные условия, накладываемые на пси-функцию. Из условия непрерывности пси-функции для точки получим:


(11)


Из условия гладкости пси-функции для этой же точки:


(12)


Аналогично, из условий непрерывности и гладкости для точки , получим:


(13)


(14)


Из системы уравнений (11) (12), (13), (14) найдём:


(15)


Вектор потока плотности вероятности , где квадрат амплитуды характеризует плотность вероятности. Значит, поток плотности вероятности падающей волны:


(16)


Поток плотности вероятности прошедшей волны:


(17)


Тогда коэффициент прохождения потенциальной ямы:


(18)












Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.