Задача № 23.


Частица находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Координаты x и y частицы лежат в пределах 0 < x < a, 0 < y < b, где a и b – стороны ямы. Определите вероятность нахождения частицы с наименьшей энергией в области:

a) ; б) ; в) .


Решение:


Частица находится в потенциальной яме, имеющей следующий вид (рисунок 1):




Рисунок 1


Составим уравнение Шредингера для области :


(1)


или в виде:


(2)


где . Решение дифференциального уравнения (2) имеет вид:


(3)


Используем естественные условия, накладываемые на пси-функцию. Так как вне области частица находиться не может, то её пси-функция вне области равна нулю. Тогда из условия непрерывности пси-функций:



С учётом этих условий пси-функция примет вид:


(4)

Найдём вторые производные по x и по y от пси-функции:


(5)


Подставим их в уравнение Шредингера (2):


(6)


Учитывая, что , получим:


(7)


Мы получили энергетический спектр частицы. Значит, в потенциальной яме энергия частицы имеет определённые дискретные значения, которые определяются выражением (7). В состоянии с наименьшей энергией оба квантовых числа равны единице .

Для того, чтобы определить постоянную А в выражении для пси-функции (4) воспользуемся условием нормировки:


(8)


Пси-функция имеет вид:


(9)


Пси-функция основного состояния :


(10)


Плотность вероятности нахождения частицы в единице объёма равно квадрату модуля пси-функции:


(11)


Найдём вероятности нахождения частицы в областях:



a)



б)



в)



Ответ:


а) 9.1%, б) 9.1%, в) 0.8%.















Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.