Задача № 33.


Частица массой падает на прямоугольный потенциальный порог высотой . Энергия частицы равна , причём . Найдите коэффициент отражения и коэффициент прозрачности этого барьера. Убедитесь, что значения этих коэффициентов не зависят от направления движения падающей частицы (слева направо или справа налево).


Решение:


Вид потенциального порога представлен на рисунке 1:


Рисунок 1

Составим уравнения Шредингера для областей 1 и 2:


Для области 1: (1)


Для области 2: (2)


Или в виде:


Для области 1: , где (3)


Для области 2: , где (4)


Решения дифференциальных уравнений (3) и (4) имеют вид:


(5)


(6)


В выражении (5) первое слагаемое является уравнением падающей волны де Бройля электрона, а второе слагаемое – уравнение отражённой волны. В области 2 есть только прошедшая волна, которой соответствует первое слагаемое уравнения (6), поэтому коэффициент . Уравнение (6) примет вид:


(7)


Используя условие непрерывности пси-функций, для точки запишем:

(8)


Используя условие гладкости пси-функций, для точки можем записать:


(9)


Используя уравнения (8) и (9), найдём:


(10)


(11)


Рассмотрим поток плотности вероятности, который определяется также как и поток любой другой физической величины:, где - скорость частицы, а - квадрат амплитуды волновой функции, характеризующий плотность вероятности местонахождения частицы. Так как скорость частицы , то для падающей, отражённой и прошедшей волн де Бройля электрона в нашем случае можно записать:


Для падающей волны: (12)

Для отражённой волны: (13)

Для прошедшей волны: (14)


Теперь определим коэффициенты, учитывая также выражения (10) и (11):


Коэффициент отражения: (15)


Коэффициент пропускания: (16)


Сумма коэффициентов отражения и пропускания (коэффициента прозрачности потенциального порога) равна 1:


(17)


При изменении направления движения частицы и меняются местами. Как видно из выражений для коэффициентов отражения и пропускания, при замене на и на , коэффициенты не изменяются, значит, они не зависят от направления движения частицы.


Учитывая, что и найдём коэффициенты отражения и пропускания:


(18)


(19)


Ответ: