Задача № 21.


Пользуясь решением задачи о гармоническом осцилляторе, найдите энергетический спектр частицы массой в потенциальной яме вида

Здесь , а - собственная частота гармонического осциллятора.


Решение:


В задаче о квантовом гармоническом осцилляторе частица находится в потенциальной яме вида:



Рисунок 1

Составим уравнение Шредингера для частицы, находящейся в потенциальном поле вида, показанного на рисунке 1:


(1)


Значения энергии квантового гармонического осциллятора оказываются квантованными:


(2)


где квантовое число принимает значения . Значение называется нулевым энергетическим уровнем. Решения дифференциального уравнения (1) являются пси-функциями, описывающими стационарные состояния квантового гармонического осциллятора. Они имеют вид:


(3)


где , а . Hv(x) – специальные функции, которые называются полиномами Чебышева-Эрмита. Они вычисляются следующим образом:


(4)


Первые три нормированные пси-функции, описывающие состояния квантового осциллятора, приведены ниже. Их графики на рисунке 2.


(5)



(6)


(7)



Рисунок 2


В нашей задаче потенциальная яма имеет вид, представленный на рисунке 3:



Рисунок 3

Поэтому уравнение Шредингера для области будет иметь такой же вид, как и для квантового гармонического осциллятора (уравнение (1)). В области потенциальная энергия равняется бесконечности, поэтому частица в этой области находиться не может. Значит, плотность вероятности местонахождения частицы, а, следовательно, и пси-функция частицы для области будут равняться нулю. Поэтому мы должны из множества собственных состояний квантового осциллятора исключить те состояния, пси-функции которых не удовлетворяют условию непрерывности пси-функций, которое в нашем случае имеет вид:


(8)


Как видно из уравнений (5), (6) и (7):



и так далее. Значит, пси-функции с чётным квантовым числом, условию непрерывности не удовлетворяют и пси-функциями стационарных состояний нашей задачи не являются. Поэтому из энергетического спектра квантового осциллятора нужно исключить значения энергий, соответствующих чётным значениям квантового числа . Сделав замену , получим энергетический спектр частицы для нашей задачи:


(9)


Ответ:


.












Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.