Задача № 42.


Определите возможные результаты измерений проекции момента импульса на выделенное направление для частицы, находящейся в состоянии, описываемом волновой функцией , где - полярный угол, - азимутальный угол, - некоторая нормировочная постоянная.


Решение:


Если некоторая физическая величина имеет точно определённые значения в некотором состоянии, то такое состояние называется собственным. Пси-функции собственных состояний являются решением операторного уравнения:


(1)


где - оператор физической величины , в правой части - собственное значение этой физической величины. В нашей задаче необходимо определить собственные значения проекции момента импульса , поэтому операторное уравнение (1) в нашем случае имеет вид:


(2)


где - оператор проекции момента импульса на ось z , который в сферических координатах имеет вид:


(3)


Найдём собственные пси-функции, соответствующие состояниям, в которых проекция момента импульса на ось имеет определённые значения. Для этого решим операторное уравнение:


(4)


Решая дифференциальное уравнение (4), получим:


(5)


где - постоянная, которую найдём из условия нормировки:


(6)


В этом случае собственные пси-функции имеют вид:


(7)


Определим постоянную в выражении для пси-функции данного состояния, используя условие нормировки:


(8)


Тогда пси-функция данного состояния имеет вид:


(9)


Разложим эту пси-функцию в ряд по собственным пси-функциям (7), учитывая, что :


(10)


Пси-функция (9) раскладывается по двум собственным пси-функциям, имеющим квантовые числа . Соответственно, проекция момента импульса на произвольную ось z в состоянии, описываемом пси-функцией (9), принимает значения:


(11)


Ответ:


.















Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.