Задача № 44.


Частица находится в двумерной квадратной потенциальной яме с непроницаемыми стенками во втором возбуждённом состоянии. Найдите среднее значение квадрата импульса частицы , если сторона ямы равна .


Решение:


Вид потенциальной ямы представлен на рисунке 1:



Рисунок 1


Составим уравнение Шредингера для области :


(1)


или в виде:


(2)


где . Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:


(3)


Используем естественные условия, накладываемые на пси-функцию. Вне области потенциальная энергия частицы равняется бесконечности, поэтому частица вне области находиться не может. Значит, плотность вероятности нахождения частицы, а, значит, и пси-функция вне области равны нулю. Из условия непрерывности пси-функций:



Значит, пси-функция имеет вид:


(4)


Дважды дифференцируя выражение (4) по x и по y, получим:


(5)


Подставим производные (5) в уравнение Шредингера (2):


(6)


Учитывая, что , получим:


(7)


Мы получили энергетический спектр частицы в двумерной квадратной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Как видно из выражения (7) энергия частицы зависит от двух квантовых чисел. В таблице 1 приведено несколько значений квантовых чисел и , а также значение выражения , которое определяет значение энергии в данном состоянии.


Таблица 1.

№ уровня

1

1

1

2

2

1

2

5

2

1

3

2

2

8

Как видно из таблицы во втором возбуждённом состоянии (третий энергетический уровень) .

Определим постоянную в выражении (4), используя условие нормировки:


(8)


Тогда пси-функции собственных состояний частицы имеют вид:


(9)

Пси-функция второго возбуждённого состояния:


(10)


Из постулатов квантовой механики среднее значение какой-нибудь физической величины в состоянии, описываемом пси-функцией , определяется следующим образом:


(11)

где - оператор физической величины , а - функция, сопряжённая к пси-функции . Операторы проекций импульса на координатные оси x,y,z имеют вид:


(12)


Формулы, связывающие физические величины в классической физике, в квантовой физике справедливы для операторов этих физических величин. Поэтому мы можем записать:


(13)


В нашем двумерном случае:


(14)


Найдём среднее значение квадрата импульса частицы в состоянии, описываемом пси-функцией (10):


Ответ:


.












Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.