Задача № 49.


В некоторый момент времени координатная часть волновой функции частицы, находящейся в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками , имеет вид . Найдите вероятность пребывания частицы в основном состоянии.


Решение:


Вид потенциальной ямы, в которой находится частица, представлен на рисунке 1:



Рисунок 1

Найдём пси-функции собственных состояний частицы в потенциальной яме. Составим уравнение Шредингера для области :

(1)


или в виде:


(2)


где . Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:


(3)


Воспользуемся естественными условиями, накладываемыми на пси-функцию. В области потенциальная энергия равняется бесконечности, поэтому частица находится в области не может. Следовательно, плотность вероятности нахождения частицы, а, значит, и пси-функция частицы в области равны нулю. Из условия непрерывности пси-функций для точки , получим:



Аналогично, применив условие непрерывности пси-функций, для точки получим:



Тогда пси-функции собственных состояний имеют вид:

(4)


Учитывая, что , получим:


(5)


Мы получили энергетический спектр частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Определим постоянную в выражении для пси-функций собственных состояний частицы (4), используя условие нормировки:


(6)


Тогда пси-функции собственных состояний имеют вид:


(7)


По условию частица в некоторый момент времени находится в состоянии, описываемом пси-функцией:


(8)


Используя условие нормировки, определим постоянную в выражении (8):


(9)


Тогда пси-функция (8) имеет вид:


(10)


Разложим пси-функцию (10) в ряд по пси-функциям собственных состояний (7):


(11)


где - коэффициенты, которые определяются следующим образом:


(12)

где - функция, сопряжённая к собственной пси-функции , - пси-функция, описывающая состояние частицы. Найдём несколько первых коэффициентов разложения:


(13)


(14)


(15)


(16)


(17)


Значит, разложение пси-функции (10) в ряд по собственным пси-функциям (7) имеет вид:


(18)


Если в собственных состояниях некоторая физическая величина имеет определённые собственные значения, то в состоянии описываемом пси-функцией , которая не является пси-функцией собственного состояния, физическая величина