Задача № 24.


Частица находится в двумерной квадратной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками во втором возбуждённом состоянии. Сторона ямы равна а. Определите вероятность нахождения частицы в области:

а) ; б) ; в) .


Решение:


Частица находится в потенциальной яме, имеющей следующий вид:




Составим уравнение Шредингера для области :


(1)


или в виде:


(2)


где . Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:


(3)


Используем естественные условия, накладываемые на пси-функцию. Вне области частица находиться не может, поэтому её пси-функция вне области равна нулю. Используя условие непрерывности, получим:


Тогда пси-функция примет вид:


(4)


Найдём вторые производные от пси-функции по x и по y:


(5)


Подставим эти производные в уравнение Шредингера (2):


(6)


Учитывая, что , получим:


(7)


Мы получили энергетический спектр частицы, находящейся в квадратной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Из выражения (7) видно, что энергия частицы зависит от двух квантовых чисел и . В таблице 1 приведены несколько возможных значений и и соответствующее им , которое определяет значение энергии.


Таблица 1.

№ уровня

1

1

1

2

2

1

2

5

2

1

3

2

2

8


Как видно из таблицы, некоторые энергетические уровни вырождены, то есть существует несколько состояний, описываемых различными пси-функциями, но имеющими одно и то же значение энергии. Второму возбуждённому состоянию соответствуют квантовые числа (так как соответствует основному состоянию, второй уровень – первое возбуждённое состояние, третий – второе возбуждённое состояние).

Определим константу A в выражении для пси-функции (4), используя условие нормировки:


(8)


Тогда пси-функции собственных состояний имеют вид:


(9)


Во втором возбуждённом состоянии:


(10)


Найдём функцию плотности вероятности нахождения частицы в единице объёма:


(11)


Теперь определим искомые вероятности:


а)



б)



в)


Ответ:


а) 19.55%; б) 19.55%; в) 3.8%.







Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.