Задача № 26.


Частица массой находится в кубической потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Найдите длину ребра куба, если разность энергий 6-ого и 5-ого уровней равна . Чему равна кратность вырождения 6-ого и 5-ого уровней?

Решение:


Потенциальная яма имеет вид (рисунок 1):




Рисунок 1

Составим уравнение Шредингера для области :


(1)


или в виде:


(2)


где . Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:


(3)


Используем естественные условия, накладываемые на пси-функцию. Вне области частица находиться не может, значит, плотность вероятности, а значит, и пси-функция вне области равны нулю. Учитывая этот факт и условие непрерывности пси-функций, получим:



В этом случае пси-функция примет вид:


(4)


Найдём частные производные от выражения (4) по x, y и z:



и подставим их в уравнение Шредингера (2), получим:


(5)


Учитывая, что , получим:


(6)


Отсюда получим энергетический спектр частицы:


(7)


Энергия частицы зависит от трёх квантовых чисел . Составим таблицу (таблица 1), в которой рассмотрим несколько первых энергетических уровней (сумма квадратов трёх квантовых чисел определяет энергию частицы):

Таблица 1:

№ уровня

1

1

1

1

3

2

1

1

2

6

1

2

1

2

1

1

3

1

2

2

9

2

1

2

2

2

1

4

1

1

3

11

1

3

1

3

1

1

5

2

2

2

12

6

1

2

3

14

1

3

2

2

1

3

2

3

1

3

1

2

3

2

1


Как видно из таблицы, может существовать несколько состояний частицы, описываемых различными пси-функциями, но в которых частица имеет одно и то же значение энергии. Такие энергетические уровни называются вырожденными, а число квантовых состояний, в которых частица имеет одно и тоже значение энергии называется кратностью вырождения. Значит, 5-ый энергетический уровень не вырожден, потому что существует только одно состояние, в котором частица имеет такое значение энергии, а 6-ой уровень имеет кратность вырождения 6. Определим разность энергий 6-ого и 5-ого уровней:


(8)


Отсюда найдём ребро куба:


(9)


Ответ:



5-ый уровень не вырожден, кратность вырождения 6-ого уровня равна 6.









Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.