Физика набор шпор 2008-2009 (shporz)

Посмотреть архив целиком

Гармоническими называют колебания, в которых интересующая нас величина х (н/р – линейное или угловое смещение из положения равновесия) изменяется со временем t по закону:

x = acos(ω­0t + α ­) , (1) где: а – амплитуда, (ω­0t + α ­) – фаза,α – начальная фаза, ω­0 – циклич. (круговая) частота колебаний. ω­0 = 2π/Т = 2πν

Продифференцировав (1) по времени t, найдем скорость х˙ и ускорение х˙˙ :

х˙ = -aω0sin(ω­0t + α ­) = aω0cos(ω­0t + α + π/2);

х˙˙= -aω­0^2cos(ω­0t + α ­) = aω0^2cos(ω­0t + α + π); (2) Сопоставив (1) и (2), получаем:

х˙˙=0^2x, или: х˙˙+ ω0^2x = 0; (3)

Это и есть – уравнение гармонического осциллятора. Его решение (1) содержит две произв. константы:a и α . Для каждого конкретного колебания они определяются начальными усло-виями– смещением x0 и скоростью х0˙ при нач. t=0:

x0 = acosα; х0˙ = -aω0sinα (4) Отсюда:

a =sqrt[х0^2+( х0˙/ω0^2)] (5); tgα = - х0˙/ ω0 х0 (6)

Обычно рассматривают только значения α в интервале (-π;+ π). Ур-ние для tgα удовл-тся двум значениям α в этом интервале. Из них нужно взять то, при котором получаются правильные знаки у

cosα и sinα в уравнениях (4).

Динамика гармонических колебаний

Основное ур-е динамики:

mа = F (2-ой з-н Ньютона); а = dv/dt, тогда

основное уравнение равно: m(dv/dt) = F (7)

Ур-е дин. в проекции на орт τ:

m(dvτ/dt)=Fτ; m(v^2/ρ)=Fn; (8)

где Fτ и Fn–проекции вектора F на орты τ и n. Векторы Fτ и Fn называют тангенциональной и нормальной составляющими силы F.

Грузик на пружине. Груз массы m подвешен на невесомой пружине жесткости æ , совершает вертикл колебания mg = æ∆l, где l – растяжение пружины в полож. равновесия. Согласно (6) :

m х˙˙= mg - æ(x+∆l) = -æx, или х˙˙+ (æ/m)x = 0

это уравнение гармон. осциллятора, колеблюще -гося около полож. равновесия с частотой ω0 и пе-риодом Т, равным: ω0 = sqrt[æ/m]; T = 2πsqrt[m/æ]

Математический маятник.

Матер. точка массой m, подвеш. на нерастяж. нити длиной l , соверш. колеб. в вертик. пл-сти. Здесь используют (7). sдуговая координата. s = lφ, s˙˙=lφ˙˙ и Fτ=0, поэтому: ms˙˙= mlφ˙˙= -mgsinφ, или: φ˙˙+(g/l)sinφ =0 – это ур-е не яв-ся уравнением гармон. осциллятора, т.к. вместо смещения φsinφ.

Но, при малых колеб., когда sinφφ, ур-е совподает с (3) : φ˙˙+(g/l)φ = 0; Откуда -> :

ω0 = sqrt[g/l]; T =2πsqrt[l/g] (9)

Энергия гармонического осциллятора

Рассмотрим этот вопрос на примере матер точки массы m, колеблющейся под дейст. квазиупругой силы Fx = -æx. Потенциал. и кинетич. энергии частицы имеют в данном случае такой вид:

U = æx^2/2 = (æa^2/2)cos^2(ω0t + α) ; (1.1)

K = mx˙^2 = (ma^2ω0^2/2)sin^2(ω0t + α) ; (1.1)

Значения U и K сдвинуты по фазе на π/2: когда Umaximal, то K minimal, и наоборот. При этом полная энергия сохран. :

E = U + K =æa^2/2=ma^2ω0^2/2 ;где, ω0= æ/m.

Сопоставив это уравнение с (1.1) получим:

U = Ecos^2(ω0t + α) ; K = Esin^2(ω0t + α);

Средние (за период колебания) значения потенциальной и кинетической энергий одинаковы и равны E/2: <U> = <K> = E/2

Согласно, что E = U + K, (*), энергия колеб-й осциллятора E ˜ (пропорциональнаa^2.

Энергия и ур-е движения.

Ур-е движ-ия колебател. системы можно получить не только из уравнений динамики, но и из закона сохранения энергии E. Нужно составить выраж-ие для энер. Е, продиффер-ть его по t и потребовать, чтобы dE/dt = 0, так как, E = const.

Это и приведет к искомому уравнению.

Сложение гармон. колебаний. Графически коле-бания можно изобразить с помощью вектора -амплитуды, вращающегося с угловой скоростью ω против часовой стрелки. (векторная диаграмма)

Рассмотрим два случая, когда частоты двух, складываемых колебаний одинаковы или мало отличаются друг от друга:

1). Случай, когда ω12 = ω. Тогда результ. смещ.:

x = x1+x2 = a1cos(ωt1) + a2cos(ωt2) (1.2)

Каждое из складыв-ых колебаний можно представ. с помощью векторов a1 и a2 : a1 + a2= a. Т.к. a1 и a2 вращ-ся с одной и той же углов. скоростью ω, то с той же углов. скор. вращается и вектор a След-но, результирующее колебание тоже является гармоническим и имеет вид: x = acos(ω­t + α ) (1.3)

где a и α находим из (9) :

a^2=a1^2+a2^2+2a1a2cosδ (1.4)

tgα = (a1sinα1+ a2sinα2) / (a1cosα1+a2cosα2) (1.5)

Разность фаз δ не зависит от t и равна: δ = α2 α1

Из (9) и (1.4) видно, что амплитуда a зависит от разности фаз δ. При сложении синфазных колеб-й (δ=0) a – максимально, а при сложении противо-фазных (δ=π) a-минимально amax=a1+ a2; amin= |a1-a2|

Из-за наличия послед-го слагаемого в (1.4), энергия результ-го колеб-я EE1+ E2 (кроме, когда δ=π/2).

2). Когда, |ω1 - ω2|<< ω1 и ω2. Тут также результ-щее колеб. записывается формулой (1.4). Но, т.к. теперь

векторы a1 и a2 вращаются с немного отличающ-ся

углов. скор., то модуль результир. вектора a будет медленно изменятся от amax до amin , причем a вращ.

с углов. скор. близкой к ω1 и ω2. Результирующее колебание уже не является гармоническим, однако

его все же можно рассматривать как гармонич-кое, но с медленно и периодически меняющейся амплитудой. Такие колебания называют биениями.

Амплитуда колебаний описывается так же - (1.4), но входящая в неё разность фаз δ зависит от t :

δ = (α2 + ω2t ) - (α1 + ω1t) =(α2 - α1) + (ω2 - ω1) t .

Период биений - промежуток времени м/у сосед-ними моментами, когда амплитуда a максимальна.

За это время разность фаз δ изменяется на 2π.

Значит: |ω2 - ω1|τσ = 2π ; Откуда:

Период биений: τσ=2π/| ω21|=1/| ω21|

Частота биений: νσ=1/τσ=|ν2-ν1|



Сложение взаимно перпендикуляр-х колебаний.

Рассмотрим два основных случая:

1). Когда, частоты складыв-мых колеб. одинаковы. Пусть, кординаты x и y изменяются по закону:

x = acosωt; y = bcos(ωt+δ) (2.1). Траекторией частицы при этом яв-ся эллипс, вид кот. опред-ся

отношением амплитуд a и b и разн-тью фаз δ. Существуют некоторые частные случаи:

а) δ=0, тогда y = (b/a)x, то есть частица движется по прямой в 1-м и 3-м квадрантах.

б) δ=π, тогда y = -(b/a)x, частица движется по прямой во 2-ом и 4-м квадрантах.

в) δ=π/2, : В этом случае x^2/a^2+y^2/b^2=1, т.е. частица движется по эллипсу, полуоси которого a и b совпадают с осями координат. При a=bокруж.

г) δ = 3π/2. Это то же, что δ =-π/2, т.к. изменение фазы на несущественно.

2). Если частоты не одинаковы и относятся как целые числа, то траектории результирующего движения называют фигурами Лиссажу. При сложении взаимно перпенд. колеб. полная энергия:

E = (æ1x^2/2 + æ2y^2/2) +m/2(x˙^2+y˙^2) = Ex+Ey

Согласно (*) эта энергия равна:

E = m/2(a^2ωx^2+ b^2ωy^2)

Затухающие колебания.

Уравнение затухающих колебаний.

В любой реальной колебательной системе есть силы сопротивл. (трения), действие кот. приводит к уменьш-ю амплитуды и энергии колебаний. Такие свободные колебания называют затухающими.

Затухающие колебания описываются уравнением:

x˙˙+2βx˙+ω0^2x = 0 (2.3); где 2β =r/m, ω0^2=æ/m.

ω0 – частота свободных колебаний без трения. Её называют собственной частотой осциллятора,

βкоэффициент затухания. При β<ω0 , решение (2.3) равно: x = a0e^(-βt)cos(ωt + α) (**) ; где:

a0 и α – пост-ные, опред-мые. нач. усл-ями x(0)=x0 и x˙(0)=x0˙; ωчастота затухающих колебаний.

ω = sqrt[ω0^2 – β^2]. T = 2π/ωпериод затух-щих колебаний : T = 2π/sqrt[ω0^2 – β^2]. Множитель a=a0e^(-βt), стоящий перед косинусом, называется амплитудой затухающих колебаний

Энергия затухающих колебаний. Эта энергия складывается из потенциальной и кинетической:

E = æx^2/2 + mx˙^2/2. После подстановки x(t) и x˙(t), соответствующих затухающими колебаниями (**), получим зависимость E(t). Уменьш-е энергии колебаний обусл-нно работой силы сопротивления. Мощность этой силы : -rx˙x˙= -rx˙^2 ; тогда:

dE/dt = -rx˙^2. След-но, dE/dt < 0 (кроме, x˙=0).

При малом затухании (β<< ω0), E(t): E = E0e^(-2βt). Отсюда убыль энергии в ед. времени: -dE/dt=2βE

Характеристики затухания.

1. Время релаксации τ=1/β.Это видно из a=a0e^(-βt)

2. Логарифм. декремент затухания:

λ=ln[a(t)/a(t+T)] = βT; λ=1/Ne; Ne - число колеб-й за время τ, в теч. кот. амплитуда уменьш-ся в e раз.

При малом затухании (β<< ω0), λ – характеризует относительное уменьшение колебаний за период:

λ = ln [(a + δa)/a] = ln [(1 + (δa)/a] ≈ (δa)/a .

Кроме того, при β<<ω0: относительное уменьшение энергии колебаний за период равно:

δE/E = T = 2λ ; откуда: λ=δN/2Ne

3. Добротность осциллятора.

по определению: Q = π/λ = πNe.

При малом затухании (β<< ω0), когда справедливо λ=δN/2Ne , получаем: Q = 2πEN .

Вынужденные колебания.

Уравнение вынужденных. колебаний. Чтобы в реальной колебательной системе возбудить незатухающие колебания нужно компенсировать потери энергии, обусловленные силами сопроти-вления (трения). Это можно осущ-ть, воздействуя на систему перем-ной внеш. силой F, меняющейся по гармоническому закону: Fx = Fmcosωt .

Возникающие при этом колебания и называют вынужденными Тут на колеб-уюся частицу будет

действовать одноврем. 3 силы: квазиупругая (-æx), сила сопротивления(-rx˙),и внешняя,вынуждающая (Fx). Согл.ос. ур-ю дин: mx˙˙ = -æx - rx˙+ Fmcosωt ; или: x˙˙+2βx˙+ω0^2x = fmcosωt ; где: 2β= r/m,

ω0^2 =æ/m, fm=Fm/m. Решение этого уравнения:

x = a0e^(-βt)cos(ωt + α) + acos(ωt - φ). По истечении некоторого времени в системе устанавливаются гармонические колебания с частотой вынуждающей силы, но отстающей по фазе на φ: x = acos(ωt - φ). Продифференцируем дважды это уравнение по времени t :

x˙= - aωsin(ωt - φ) = aωcos(ωt φ +π/2) ;

x˙˙= - aω^2cos(ωt - φ) = aω^2cos(ωt φ +π/2) ;

Подставим выражения для x, x˙, x˙˙ в исходное уравнение вынуждающих колебаний. Сумма 3-х гармонических функций в левой части уравнения должна быть равной fmcosωt .

По теореме Пифагора следует, что :

a^2(ω0^2 - ω^2)^2 + 4β^2ω^2a^2 = fm^2 ; откуда:

a = fm/sqrt[(ω0^2- ω^2)^2 + 4β^2ω^2] ; (‘*’)

tgα = 2βω/(ω0^2 - ω^2) .

Эти формулы показывают, что амплитуда a колебаний и отставание смещения по фазе на φ от

вынуждающей силы опред-ется свойствами самого осциллятора (ω0, β) и вынуждающей силы (fm,ω).

Резонанс. Завис-ость амплитуды вынужд. колеб-й от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой опред-нной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает maximal значения. Колебатная система оказ-тся особенно отзывчивой на действие вынуж-щей силы при этой частоте. Это явление называется резонансом, а соответст-щая частота – резонансной частотой.

ωрез = sqrt[ω0^2 - 2β^2]; Выражение для амплитуды при резонансе получим, подставив это уравнение в уравнение (‘*’): amax= fm/(2βsqrt[ω0^2 - β^2]). При малом затухании (β<< ω0) «острота» резонанса, т.е. отношение ω0/∆ω равно добротности осциллятора : ω0/∆ω = Q .

Энергия вынужденных колебаний. Так как

E = U + K, следовательно: E = æx^2/2 + mx˙^2/2 = = ma^2[ω0^2cos^2(ωt - φ) + ω^2sin^2(ωt - φ)]/2 ;

где учтено, что æ = mω0^2. Колебания энергии E будут тем меньше, чем ближе частота ω к ω0, и при ω = ω0 энергия E не будет зависеть от времени t : E0 = ma^2ω0^2/2 = const. В установив-шихся колебаниях ωω0 работа вынуждающей силы за период будет компенсировать потери энергии в системе за счет работы сил сопрот-ния.

Мощность вынуждающей силы в каждый момент будет равна модулю мощности сил сопротивления только в случае ω = ω0 . В противном случае эти мощности будут равны по модулю только в среднем за период.





Кинематика материальной точки.

Кинематика – это раздел механики, где изучаются способы движений независимо от причин, обусло-вливающих эти движения.

Существует три способа описания движения точки: векторный, координатный и естественный.

Векторный способ. В этом способе положение то-чки А задают радиус-вектором r, проведенным из

некоторой неподвижной точки О выбранной систе-мы в точку А. При движении точки А ее радиус-ве-ктор меняется в общем случае как по модулю, так и по направлению, т.е. он зависит от времени t. Геометрическое место концов радиус-вектора r называют траекторией точки А.

Понятие скорости точки. Пусть за промежуток времени ∆t точка А переместилась из (•) 1 в (•) 2. Вектор перемещенияr точки А представляет со-бой приращение вектора r за время ∆t: ∆r = r2r1.

Отношение ∆r/t наз. средним вектором скорости

<v> за время ∆t. Вектор <v> совпад. по напр. с ∆r.

Определим вектор скорости v точки в данный

момент времени как предел отношения ∆r/t при ∆t→0, т.е: v = limt→0(∆r/t) = dr/dt. (*) Это значит, что вектор скорости v точки в данный момент времени равен производной от радиус вектора r по времени и направлен по касательной к траектории в данной точке в сторону движения точки А(как и вектор dr). Модуль вектора v равен: υ= |v| = | dr/dt |.

Ускорение точки. Вектор ускорения а определяет скорость изменения вектора скорости точки со вре-менем: а = dv/dt. Направление вектора а совпадает

с направлением вектора dv – приращение вектора v

за время dt. Модуль вект. а аналогичен модулю v.

Координатный способ. В этом способе с выбран-ным телом отсчета жестко связывают определеную

систему координат (декартову, косоугольную или криволинейную). Ограничимся здесь декартовой

системой координат x, y, z. Запишем проекции на

оси X, Y, Z радиус-вектора r(t), характеризующего положение точки относ-но нач. корд. О в момент t:

x = x(t); y = y(t); z = z(t). Зная зависимость этих координат от времени – закон движения точки, мо-жно найти положение точки в каждый момент вре-мени, ее скорость и ускорение. Спроецировав (*) и

а = dv/dt, например, на ось X, получим формулы, определяющие проекции векторов скорости и уско-рения на эту ось: υx = dx/dt, где dx – проекция век-тора перемещения на ось X; аx = dυx/dt = d^2x/dt^2 ;

где dυx – проекция вектора приращения скорости dv на ось X. Аналогичные соотношения получают-ся для y- и z-проекций соответствующих векторов.

Модуль вектора скорости:υ=sqrtx^2 + υy^2 + υz^2];

а направление вектора v задается направляющими косинусами: cosα = υx/υ; cosβ = υy/υ; cosγ = υz/υ; где:

α, β, γ – углы между векторами v и осями X, Y, Z. Аналог-но опред-ся модуль и напр вект. ускорения.

Естественный способ. Этот способ применяют тогда, когда траектория точки известна заранее. Положение точки А определяют дуговой координа-той lрасстояние вдоль траектории от выбранного начала отсчета О. При этом произвольно устанавливают положительное направление отсче-та координаты l . Движение точки определено, если известны ее траектория, начало отсчета О, положи-тельное направление отсчета дуговой координаты l и закон движения точки, т.е. зависимость l(t).

Скорость точки. Введем единичный вектор τ , свя-занный с движущейся точкой А и направленной по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты l . Очевидно, что τ – перемен-ный вектор: он зависит от l. Вектор скорости v точ-ки А направлен по касательной к траектории, поэ-тому его можно представить как: v = υττ (**); где:

υτ = dl/dt – проекция вектора v на направление век-тора τ, причем |υτ| = | v | = υ.

Ускорение точки. Продифференцируем (**) по t:

а = dv/dt = (dυτ/dt)τ + υτ(dτ/dt) (***). Затем преоб-разуем второе слагаемое этого выражения:

υτ(dτ/dt)=υτ(dτ/dl)(dl/dt) = υτ^2(dτ/dl) = υ^2(dτ/dl). (-)

Определим приращение вектора τ на участке dl. Можно строго показать, что при стремлении (•) 2 к (•) 1 отрезок траектории между ними стремится к дуге окружности с центром в некоторой точке О. Эту точку называют центром кривизны траектории в данной точке, а радиус ρ соотв-ющей окружности – радиусом кривизны траектории в той же точке. Получаем, что |dτ/dl| = 1/ρ, причем при dl→0 dτ┴τ.

Введя единичный вектор n нормали к траектории в

(•) 1, направленный к центру кривизны, запишем последнее равенство в векторном виде: dτ/dl = n/ρ.

Подставим это уравнение в (-) , а затем то, что получим, подставим в (***) , в результате найдем:

а = (dυτ/dt)τ + (υ^2/ρ)n. Здесь 1-ое слагаемое наз-ют

тангенциальным ускорением, а 2-ое – нормальным. Как видно из последнего равенства, проекция век-тора а на орты τ и n равны: аτ = dυτ/dt ; аn = υ^2/ρ .

Модуль полного ускорения точки:

а = sqrt[аτ^2 + аn^2] = sqrt[υ˙^2 + (υ^2/ρ)^2]; где:

υ˙ - производная модуля скорости по времени.

Физический маятник. Это твердое тело, соверша-ющее колебания вокруг неподвижной оси, жестко связанной с телом. Рассмотрим колебания под дей-ствием силы тяжести. Выберем положительное направление отсчета угла φ против часов. стрелки (ось Z направлена к нам). Тогда проекция момента силы тяжести на ось Z запишется как: Mz = -mglsinφ

и уравнение динамики вращательного движения твердого тела примет вид : Iφ˙˙= -mglsinφ ; где I – момент инерции тела относительно оси О, l – расс-тояние между осью О и центром масс С. Ограничи-мся рассмотрением малых колебаний, при которых

sinφ ≈ φ. При этом условии предыдущее уравнение можно записать так: φ˙˙+(mgl/I)φ = 0. Колебания будут гармоническими с частотой ω0 и периодом Т:

ω0 = sqrt[mgl/I] ; T = 2πsqrt[I/mgl]. Такую же часто-ту и период имеет математ-ский маятник: lпр= I/ml,

которую наз-т приведенной длиной физ. маятника.

Точку О’, которая нах-тся на прямой, проходящей через точку подвеса О и центр масс С, и отстоит от точки О на расстоянии lпр , наз-ют центром качания

физического маятника. Центр качания О’ обладает таким свойством: если маятник перевернуть и зас-тавить совершать малые колебания вокруг оси О’, то период колебаний не изменится. На этом свойс-тве основано определение ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника: экспе-риментально устанавливают положения двух «соп-ряженных» точек (осей) О и О’, малые колебания вокруг которых происходят с одинаковой частотой. Это значит, что ОО’ = lпр . Определив ω0 и lпр , из формулы ω0 = sqrt[g/lпр] находим g .















































































































Преобразования Лоренца.

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета К и К’. Пусть К’-система движется относительно К –системы со скоростью V. Направим координатные оси обеих систем отсчета так: оси X и Xсовпадают

и направлены параллельно вектору V, а оси Y и Y параллельны друг другу. Установим в разных точ-ках обеих систем отсчета одинаковые часы и синх-ронизируем их – отдельно часы К-системи и отде-льно часы К’-системы. И возьмем за начало отсче-та времени в обеих системах момент, когда начала координат О и О’ совпадают (t = t’=0). Предполо-жим, что в момент времени t К-системе) в точке с координатами x, y произошло некоторое событие А. Необходимо найти координаты x, y и момент времени t этого события в К’-системе.

Равенство поперечных размеров тел. Сравним поперечные размеры тел в разных инерциальных системах отсчета. Представим две инерциальные системы отсчета К и К’, оси Y и Y которых парал-лельны друг другу и перпендик-ны направлению движения одной системы относ-но другой, причем

начало отсчета О’ К’-системы движется по прямой, проходящей через начало отсчета О К-системы. Установим вдоль осей Y и Y стержни ОА и О’А’, яв-иеся эталонами метра в каждой из этих систем.

Представим себе, что в момент совпадения осей Y и Y верхний конец левого стержня сделает метку на оси Y К-системы. Принцип относительности по-зволяет доказать, что эта метка совпадет с точкой

А – верхним концом правого стержня. Если бы это было не так, то с точки зрения обеих систем отсче-та один из стержней оказался бы, например, короче другого и, след-но, имелась бы возможность экспе-риментально отличить одну из инерциальных сис-тем отсчета от другой по более коротким попереч-ным размерам. Но это противоречит принципу относительности:« все физические явления проте-кают одинаковым образом во всех инерциальных системах отсчета; все законы природы и уравне-ния, их описывающие, инвариантны, т.е. не меняю-тся, при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Другими словами, все инерциа-льные системы отсчета эквивалентны (неразличи-мы) по своим физическим свойствам.» Отсюда сле-дует, что поперечные размеры тел одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Это значит так же, что при указанном выборе начал отсчета К’ - и К-системы координаты y и y любой точки или

события совпадают, т.е. y = y. (*)

(продолжение – преобразоване Лоренца…)

Так как вопрос относительно y был уже решен, пе-рейдем к нахождению координаты x события. Эта координата характеризует собственную длину от-резка О’Р, неподвижного к К’-системе. Длина же этого отрезкав К-системе, где отсчет производится в момент t, равна xVt. Связь между этими длинами

дается формулой:l=l­0sqrt[1-β^2], согласно которой: xVt = xsqrt[1-β^2]. Отсюда: x= (xVt)/sqrt[1-β^2].

С другой стороны, координата x характеризует со-бственную длину отрезка ОР, неподвижного в К-системе. Длина же этого отрезка в К’-системе, где измерение проводится в момент t, равна x+Vt. Учитывая опять формулу: l=l­0sqrt[1-β^2], получим:

x+Vt= xsqrt[1-β^2], откуда: x =(x+Vt)/sqrt[1-β^2].

Полученные формулы позволяют также установить и связь между моментами времени t и t события А в обеих системах отсчета. Для этого достаточно из двух последних ур-ний для xи x исключить xили

x, после чего найдем: t= (t xVt^2)/sqrt[1-β^2], и:

t = (t+ xVt^2)/sqrt[1-β^2]. Последние 4 формулы для xи x, t и t, а также (*)– наз. преобразованиями

Лоренца. По этим формулам осуществляется прео-бразование координат и времени любого события при переходе от одной инерциальной системы отс-чета к другой. Итак, преобразования Лоренца при переходе от К - к К’-системе имеют вид: y = y;

x= (xVt)/sqrt[1-β^2]; t= (t xVt^2)/sqrt[1-β^2].

А при обратном переходе от К’- к К-системе: y=y;

x =(x+Vt)/sqrt[1-β^2]; t =(t+ xVt^2)/sqrt[1-β^2].

Где: β =V, V – скорость К’-системы относительно

К-системы.

Преобразования Лоренца сильно отличаются от преобразований Галилея(x= xVt; y = y; t= t), но последние могут быть получены из первых, если в них формально положить с = ∞. Другими словами:

В основе преобраз-ний Галилея лежит допущение о синхронизации часов с помощью мгновенно расп-ростроняющихся сигналов. Из этого объстоятельс-тва вытекает, что величина с в преобр-ях Лоренца играет роль скорости тех сигналов, которые испо-льзуются для синхронизации часов. Если эта ско-рость бесконечно велика, то получаются преоб-ния

Галилея; если же она равна скорости света, то – преобразования Лоренца. Таким образом, в основе преобр-ний Лоренца лежит допущение о синхро-низации часов с помощью световых сигналов, име-ющих предельную скорость.

Замечательной особенностью преобр-ний Лоренца яв-ся то, что при V<<с (строго говоря, нужно еще, чтобы x<<t,т.е. чтобы времена распространения световых сигналов на расстояния, фигурирующие в рассматривающих задачах (x), были малы по сра-внению с интересующими нас промежуьками вре-мени. При этом условии можно считать, что сигна-лы распростроняются практически мгновенно) они переходят в преобр-ния Галилея.

Также из преобр-ний Лоренца видно, что при V > с

подкоренные выражения становятся отрицат-ными и формулы теряют физический смысл. Это соотве-тствует тому факту, что движ-ие тел со скоростью, большей скорости света в вакууме, невозможно. Нельзя даже пользоваться системой отсчета, дви-жущейся со скоростью V = с ; при этом подкорен-ные выражения обращаются в нуль и формулы то-же теряют физический смысл. Это значит, что например, с фотоном, движущимся со скоростью с,

принципиально не может быть связана система отсчета. Иначе говоря: не существует такой системы отсчета,в которой фотон был бы неподвижен.

И наконец, необходимо отметить то, что в форму-лы преобразования времени входит пространствен-ная координата. Это важное обстоятельство указы-вает на неразрывную связь между пространством и временем. Другими словами, речь должна идти не отдельно о пространстве и времени, а о едином пространстве-времени, в котором протекают все физические явления.















































































































































Силы. Наиболее фундаментальные силы, лежащие в основе всех механических явлений – это силы гравитационные и электрические.

Сила гравитационного притяжения.

F = γm1m2/r^2; где:γгравитационная постоянная.

Однородная сила тяжести. F = mg ; где:

m - масса тела, g ускорение свободного падения.

Упругая сила. F = -ær ; где: rрадиус-вектор, характеризующий смещение частицы из полож-я равновесия, æ–положительный коэффициент- const

Сила трения скольжения, возникающая при скольжении тела по поверхности другого тела:

F = kRn ; где k коэффициент трения скольжения, Rn – сила нормального давления, прижимающая

трущиеся поверхности друг к другу.

Сила сопротивления, действующая на тело при его поступательном движении. Сила направлена противоположно вектору (скорости) v : F = - kv ;

k положительный коэффициент.

Основное ур-е динамики в неинерц-ной системе.

Возьмем 2 системы отсчета: К- инерциал. и Кнеинерциальную. Пусть m–масса частицы, F сила,

действующая со стороны окружающих тел. К - система вращается с постоян. углов. скор. ω вокруг оси, перемещающейся поступательно с ускорением a0 относительно К –системы. Из формулы преоб-разования ускорений: a = a + a0 + 2[ωv] – ω^2ρ ;

следует, что ускорение частицы в К- системе:

a = a - a0 + ω^2ρ + 2[ωv] ; где – v скорость частицы относительно К – системы, ρрадиус-вектор. Умножив обе части на m, и учтя, что в инерциальной системе ma = F :

ma = F–ma+mω^2ρ+2m[ωv] (.) Этоосновное ур-ние дин-ки в неинерциальной системе отсчета.

Силы инерции. Перепишем (.) :

ma = F + Fпси + Fцб + Fкор ; где Fпси= -ma0поступ-я сила инерции, Fцб = mω^2ρ - центробежная сила инерции, Fкор=2m[ωv] – сила Кориолиса.

Импульс частицы. По определ-ию: p = mv, где m и v - масса и скорость. Пользуясь этим, основное

уравнение дин-ки: dp/dt = F, если F=0, то p=const.

Откуда : dp = Fdt. Проинтегр-вав это выраж-е по t, найдем приращ-ие импульса част-ы за конеч. промеж. t: p2 p1 = ∫0^t Fdt. ; где (p2 p1) – импульс силы. В частнос., если F = const, тогда: p2 p1 = Ft.

Импульс системы. Введем это понятие как вектор-ю сумму её отдельных частиц: p = ∑pi ; где

pi –импульс i-ой частицы. Имп. системы- величина аддитивная. Продиффер-вав. это уравнение по t :

dp/dt = dpi/dt, т.к. dp/dt = F, то: dpi/dt = kFik + Fi ;

где Fik внутренние силы, Fi – внешние силы. Подставив последнее выражение в предыдущее, мы получим: dp/dt = ik Fik + iFi . Двойная сумма - это сумма всех Fвнутрен. В результате, последнее ур-ние принимает вид: dp/dt=Fвнеш.; где

Fвнеш.- результ-я всех внеш. сил, Fвнеш.= Fi . Приращение импульса системы равно импульсу результирующей всех Fвнеш. за t: p2 p1 = ∫0^t Fвнеш.dt.

Закон сохранения импульса.

Замкнутая система – система частиц, на котор. не действуют никакие посторонние силы (или их возд-е пренебрежимо мало). Согласно уравнению: dp/dt = Fвнеш.; импульс системы может изме-няться под действием только внешних сил. Отсюда Закон: Импульс замкнутой системы частиц остаётся постоянным, т.е. не меняется со временем: p = ∑pi(t) = const . У замкнутой системы может сохр-ся не сам импульс p, а его проекция px на некоторое направление Х. Это бывает тог., ког. проекция результирующей Fвнеш. на направление

Х равна нулю, т.е. вектор Fвнеш. перпендикулярен ему: dpх /dt = Fвнеш х. Откуда следует, что если: Fвнеш х = 0 , тогда: pх = const.

Центр масс. В любой системе частиц есть точка С, называемая центром масс. Ее положение относительно начала О, характеризуется радиус-вектором: rc = 1/mmiri ; где mi и ri - масса и радиус-вектор i-ой частицы, m масса всей системы. Продифф. это ур-е по t, найдем скорость VC центра масс: VC = 1/m mivi . Если VC = 0, то

система, как целое - покоится. Из этого уравнения, с учетом p=∑pi следует, что: p = mVC . (*)

Уравнение движения центра масс.

Подставив (*) в dp/dt=Fвнеш. , и учитывая, что масса системы – величина постоянная, получим:

m(dVC/dt) = Fвнеш ; где Fвнеш – результирующая всех внешних сил, действующая на систему. Это – уравнение движения центра масс. Согласно ему, центр масс любой сис-мы частиц дв-тся так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в этой точке, и к ней были бы приложены все внешние силы. Если Fвнеш 0, то dVC/dt0, а значит VC=const. А, если VC=const, то и импульс системы p=const. Таким образом, если центр масс системы

движется равномерно и прямолинейно, то это означает, что её импульс сохраняется в процессе движения.

Движение тела переменной массы.

Пусть, в некот-й момент t масса движущегося тела

А = m, а присоед-ое (отделяемое) вещество имеет скорость u относит-но этого тела. K- инерциальная система отсчета, скорость которой такая же, как и у тела А в данный момент t, т. е. в момент t тело А покоится в K.За промеж. врем. От t до t+dt тело А приобр-ет в K импульс mdv. Этот импульс тело получит, вследствие присоединения (отдел.) массы

δm, котороя приносит (унос) импульс δmu, и вслед. действия силы F со стороны окруж. тел. Поэтому:

mdv = Fdt ± δmu. Знак «+» - присоединение массы, знак «-»-отделение. Объединим их, представив ±δm в виде приращения dm массы тела А. Тогда:

mdv = Fdt + dmu. Поделив его на dt получаем: основное уравнение динамики точки переменной массы (Ур-ние Мещерского): mdv/dt = F + dmu/dt.

Последнее слаг-ое: R=(dm/dt)uреактивная сила.

Если масса присоединяется, то dm/dt >0, и вектор R совпадает по направлению с вектором u. Если же

масса отделяется, то dm/dt <0, и вектор R является противоположным вектору u.

Два частных случая:

1). Если u = 0, т.е. масса присоед-тся или отдел-ся

без скорости относительно тела, то R = 0, и ур-ние

Мещерского принимает вид: m(t)dv/dt = F.

Где m(t) – масса тела в данный момент времени.

2). Если u = -v, т.е. присоединяемая масса неподвижна в выбранной системе отсчета или отделяемая масса становится неподвижной в этой системе, то уравнение Мещерского принимает вид:

m(dv/dt) + (dm/dt)v = F ; или: d/dt (mv) = F. Т.е., только в этом случае – действие силы F определя-ет изменение импульса тела с переменной массой.









Консервативные силы. Если в каждой точке про-странства на помещенную туда частицу действует сила, то частица находится в поле сил. Так, н/р, частица может находиться в поле сил тяжести – в каждой точке пространства на нее действует сила F=mg; в поле упругих сил; в поле сил сопротивле-ния (в потоке жидкости, газа) и т. д.

Если во всех точках поля силы, действующие на частицу, одинаковы по величине и направлению (F=const), поле называется однородным.

Поле, остающееся постоянным во времени, наз-ют стационарным. Поле, изменяющееся со временем, наз-ся нестационарным. Стационарное поле в од-ной системе отсчета может оказаться нестационар-ным в другой системе отсчета. В стационарном си-ловом поле сила, действующая на частицу, зависит только от ее положения. Работа, которую соверша-ют силы поля при перемещении частицы из (•) 1 в (•) 2, зависит, вообще говоря, от пути между этими точками. Вместе с тем имеются стационарные си-ловые поля, в которых работа, совершаемая над ча-стицей силами поля, не зависит от пути между точ-ками 1 и 2. Силы, обладающими таким свойством, наз-ют консервативными (потенциальными). Это свойство консервативных сил можно сформулиро-вать и иначе: силы поля явля-ся консервативными, если в стационарном случае их работа на любом замкнутом пути равна нулю. Чтобы убедиться в этом, разобьем произвольный замкнутый контур на две части: 1a2 и 2b1.

Тогда работа на замкнутом пути: A = A1a2 + A2b1. Видно, что: A2b1 = -A1b2 , поэтому: A =A1a2 - A1b2.

А так как в этом случае работа не зависит от пути, т.е. A1a2 = A1b2 , то в результате и оказывается, что работа на произвольном замкнутом пути: A = 0.

Таким образом, консервативные силы можно определить двумя способами:

1. Как силы, работа которых не зависит от пути, по которому частица переходит из одного положения в другое;

2. Как силы, работа которых на любом замкнутом пути равна нулю: A = 0.

Все силы, не являющ-ся консервативными, наз-ют

неконсервативными. К числу неконсервативных сил относятся, например, силы трения и сопроти-вления. Работа этих сил зависит от пути между начальным и конечным положениями частицы

(и не равна нулю на любом замкнутом пути).

Постулаты Эйнштейна.

В качестве исходных позиций специальной теории относительности Эйнштейн принял два постулата:

1) принцип относительности; 2) независимость скорости света от скорости источника.

Первый постулат представляет собой обобщение принципа относительности Галилея на любые фи-зичекие процессы: все физические явления проте-кают одинаковым образом во всех инерциальных системах отсчета; все законы природы и уравне-ния, их описывающие, инвариантны, т.е. не меняю-тся, при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Другими словами, все инерциа-льные системы отсчета эквивалентны (неразличи-мы) по своим физическим свойствам.

Второй постулат утверждает, что скорость све-та в вакууме не зависит от движения источника света и одинакова во всех направлениях. Это зна-чит, что скорость света одинакова во всех инерци-альных системах отсчета. В отличии от всех дру-гих скоростей, меняющихся при переходе от одной системы отсчета к другой, скорость света в пустоте яв-тся инвариантной величиной. Из постулатов Эй-нштейна следует также, что скорость света в ваку-уме яв-тся передельной; никакой сигнал, никакое воздействие одного тела на другое не могут расп-ростроняться со соростью, превышающей скорость света в вакууме. Именно предельный характер этой скорости и объясняет одинаковость скорости света во всех системах отсчета. Значение предельной ско-рости – скорости света в вакууме – должно быть одинаково во всех инерциальных системах отсче-та; в противном случае эти системы можно было бы отличить друг от друга.

Принцип относительности Галилея: все инерци-альные системы отсчета эквивалентны друг другу в механическом отношении, все законы механики одинаковы в этих системах отсчета, или, други-ми словами, инвариантны относительно преобра-зований Галилея.

Преобразования Галилея. Эти преобразования выражают пространственно-временную связь лю-бого события в разных инерциальных системах от-счета. Если K’-система отсчета движется отно-сительно K-системы со скоростью V и начало от-счета времени соответствует моменту, когда на-чало координат О’ и О обеих систем совпадают, то: x= xVt; y = y; t= t (*). Отсюда следует, что координаты любого события относительны, т.е. име-ют разные значения в разных системах отсче-та; момент же времени, когда событие произошло, одинаков в разных системах. Последнее означает, что время течет одинвковым образом в разных сис-темах отсчета. Из (*) непосредственно вытекает за-кон преобразования (сложения) скоростей: v’= v-V;

где: v’и v – скорости точки (чатицы) в K’- и Kсис-темах отсчета.

Основное уравнение релятивистской динамики.

Основное уровнение динамики Ньютона F = mа, не удовлетворяет принципу относительности Эйнште-йна. Преобр-ния Лоренца при переходе к другой инерциальной системе придают ему совершенно иную форму. Чтобы удовлетворить требованиям принципа относительности, основное ур-ние дина-мики должно лишь при υ<<c переходить в ньюто-новское ур-ние. Этим требования удовлетворяет уравнение: dр/dt = F; где F – сила, действующая на частицу. Данное ур-ние по виду полностью совпа-дает с основным уравнением ньютеновской дина-мики (импульс частицы). Но физический смысл здесь уже другой: слева стоит производная по вре-мени от релятивистского импульса, определяемого формулой: p = mv = m0v/sqrt[1-( υ/c)^2]. Подставив

это уравнение в предыдущее, получим:

d/dt (m0v/sqrt[1-( υ/c)^2]) = F. Это и есть основное уравнение релятивистской динамики. В таком виде ур-ние дин-ки приводит к сохр-нию импульса для свободной частицы и при малых скоростях (υ<<c) принимает форму основного ур-ния ньюте-новской (mа=F). В таком виде осн. ур-е дин-ки ока-зывается инвариантным по отношению к преоб-ям Лоренца, и удов-ряет принципу относит. Эйнш-на.





































































































































Работа. Действие силы F на перемещение dr характеризуют величиной, равной скалярному

произведению Fdr, которую наз-ют элементарной работой силы F на перемещение dr. Её можно представить и в другом виде:Fdr = Fcosαds = Fsds ; где α –угол между векторами F и dr, ds–элементар. путь, Fs проекция вектора F на вектор dr. Значит: δА = Fdr = Fsds . (**) Интегрируя (**) по всем элементарным участкам пути от (•) 1 до (•) 2, мы найдем работу силы: А = ∫1^2Fdr = 1^2Fsds . (***)

Эта формула справедлива не только для частиц, но и вообще для любого тела или системы тел.

Необходимо иметь в виду, что под dr (или ds) надо понимать перемещение точки приложения силы F.

Работа упругой силы.

δА = Fdr =-ærdr. Здесь:скаляр. произв-е rdr=r(dr)r, где (dr)r -проекция dr на вектор r . (dr)r = dr, и

rdr = rdr, поэтому: δА = rdr = -d(ær^2/2). Проинтегрируем это выражение от (•)1 до (•)2:

А= - 1^2d(ær^2/2) = ær1^2/2 – ær2^2/2 .

Работа гравитационной (кулоновской) силы.

F = (α/r^2)er ; где соответствующая постоянная

(-γm1m2 или kq1q2), rрасст-ние от (•)О до частицы

М, erорт радиус-вектора r. Элементарная работа этой силы на перемещение dr: δА=Fdr=(α/r^2)erdr; где скалярное произв. erdr = dr, т.е. = приращению модуля вектора r, и: δА = αdr/r^2 = - d(α/r).

А работа этой же силы на всем пути от (•)1 до(•)2:

А = -1^2d(α/r) = α/r1 - α/r2 .

Работа однородной силы тяжести. F= -mgk ; где kорт вертикал-ой оси Z. Элемент. раб. на пер. dr:

δА = Fdr = -mgkdr ;где скаляр. произв. kdr = (dr)k, где (dr)k – проекция dr на орт k, равная dz -

приращению координаты z. Поэтому kdr = dz, следоват-но: δА= -mgdz=-d(mgz). Работа этой силы на пути от (•)1 до (•)2: А = -1^2d(mgz) = mg(z1 - z2). Мощность. Мощностьэто работа, совершаемая силой за единицу времени. Если за промежуток времени dt сила F совершает работу Fdr, то мощ-ность, развиваемая этой силой в дан. мом. времени: P = Fdr/dt .Учитывая, что dr/dt = v , получаем:

P = Fv . Зная мощность силы F, можно найти и работу, кот. совершит эта сила за промеж. врем-и t.

Представив подынтегральное выражение в (***) в виде Fdr = Fdt = Pdt , получим: А = 0^t Pdt .

Поле центральных сил. Центральную силу, дейст-ую на частицу М со стороны частицы О, можно представить в виде: F = f(r)er ; где f(r) – функция, зависящая только от rрасстояния м/у частицами, er - единичный вектор, задающий направление радиус-вектора M относительно О.

Центральные силы являются консервативными. Элементарная работа силы: δА = Fdr = f(r)erdr.

Так как erdr =drпроекция вектора dr на вектор er, то: δА = f(r)dr.Следовательно, работа этой силы на произвольном пути от (•)1 до (•)2: А12 = ∫1^2 f(r)dr

Полученное выражение зависит только от f(r), т.е.

от характера взаимодействия и от r1 и r2 – начального и конечного расстояний между M и О.

От пути данное выражение никак не зависит.

Потенциальная энергия частицы в поле. Представим стационарное поле консервативных

сил, в которых мы перемещаем частицу из разных точек Рi , в некоторую фиксированную (•) О. Т. к. работа сил поля не зависит от пути, то остается зависимость её только от положения (•) Р. А, это значит, что эта работа будет некоторой функцией радиус–вектора r (•) Р. Обозначив эту функцию U(r), запишем: АPO = Р^О Fdr = U(r). Функцию

U(r) называют потенциальной энергией частицы в этом поле. Найдем работу сил поля при перемещ-и из (•)1 в (•)2. Так как работа не зависит от пути, выберем путь ч/з (•)О. Тогда работа на пути 1О2 :

А12 =А1О + АО2 = А1О -А2О, или: А12 = ∫1^2Fdr =U1U2. Из этих формул видно, что потенциальная энергия частицы в данных силовых полях имеет следующий вид:

1). В поле упругой силы: U(r) = ær^2/2 ;

2). В гравитационном (кулоновском) поле материальной точки: U(r) = α/r

3). В однородном поле силы тяжести: U(z) = mgz .

Потенциальная энергия и сила поля.

Нужно – установить связь между потенциальной энергией и силой поля, точнее, определить после сил F(r) по заданной потенциальной энергии U(r) как функции положения частицы в поле. Убыль

потенц-ой эн-ии частицы в поле:А12 = U1U2 = –ΔU.

Это относится и к элементарному перемещению dr

а именно: δА = -dU, или: Fdr = -dU. Имея в виду,

что: Fdr = Fsds ; где ds = |dr| - элементарный путь,

Fs проекция вектора F на перемещение dr; мы получим: Fsds = -dU ; где -dU убыль потенц-ой

энергии в направлении перемещения dr. Отсюда:

Fs = -U/∂s ; где: ∂/∂s – частная производная. Связь между силой поля и потенциальной энергией как функцией координат можно представить в виде:

F = -∆U. Где ∆U градиент скалярной функции U.

U = iU/∂x + jU/∂y + kU/∂z.

Механическая энергия частицы в поле.

Кинетическая энергия. Имея в виду, что F = dv/dt и dr=vdt : δА = Fdr =mvdv. Скалярное произв-ние

vdv= υ(dv)v, где (dv)v – проекция вектора dv на направление вект. v. (dv)v = dυ, поэтому vdv = υdυ, и: δА = mυdυ = d(mυ^2/2). Отсюда видно, что раб. результирующей силы F идет на приращение некот. величины (в скобках), - это - кинетическая энергия: K = mυ^2/2. Таким образом, dK=δА, а при перемещ. из (•)1 в (•)2: K2K1 = А12 . Если А12>0, то

K2 > K1 , т.е. кинетическая энергия частицы увели-чивается; а, если А12<0, то кинет. энергия уменьш.

Полная механическая энергия частицы. Резу-льтирующая F всех сил, действующих на частицу, может быть представ-на как F = F­п+ Fсторон . Работа этих сил идет на приращ-ие кинетической энергии частицы:K = Асп +Асторон ;где Асп – работа сил поля, Асторон – работа сторонних сил. Так как Асп = -∆U , след-но: K + U =∆( K + U) = Асторон . Откуда:

E = K + U - полная мех. энергия частицы в поле. Из последних двух уравнений следует, что прираще-ние полной механ-кой энергии частицы в стациона-рном поле консервативных сил при перемещении её из (•)1 в (•)2: E2E1 = Асторон . Если Асторон >0, то полная мех. энергия частицы увели-чивается, а при Асторон < 0, уменьшается. Таким обр., полная мех. эн частицы может изменяться под действием только сторонних сил. Отсюда закон сохр. мех. эн. части-цы: если сторонние силы отсутствуют или тако-вы, что не совершают работы в течение интере-сующего нас времени, то полная мех. эн-гия части-цы в стационарном поле консервативных сил ос-тается постоянной за это время: E =K + U=const.


Закон сохранения механической энергии.

Механическая энергия замкнутой системы частиц, в которой нет диссипативных сил, сохр. при движении: Eсобственная = K + Uсобствен = const.

Универсальный закон сохранения мех. энергии:

Энергия никогда не создается и не уничтожается, она может только переходить из одной формы в другую или обмениваться между отдельными частями материи.


























































Закон сохранения механической энергии.

Механическая энергия замкнутой системы частиц, в которой нет диссипативных сил, сохр. при движении: Eсобственная = K + Uсобствен = const.

Универсальный закон сохранения мех. энергии:

Энергия никогда не создается и не уничтожается, она может только переходить из одной формы в другую или обмениваться между отдельными частями материи.

Момент импульса частицы. Момент силы.

Пусть r – радиус-вектор, характер-щий положение

частицы относительно некоторой (•) О выбранной в системе отсчета, а p – её импульс в этой системе. Моментом импульса частицы А относительно (•) О наз-ют вектор М, равный векторному произвед-ию

векторов r и p: M = [rp]. Отсюда следует, что М яв-ся аксиальным вектором. Его направление выб-рано так, что вращение вокруг (•) О в направлении

вектора p и вектора М образуют правовинтовую систему. Модуль М равен: М = rpsinα = lp; где

α – угол м/у r и p, l = rsinαплечо вектора p отно-сительно точки О .

Уравнение моментов. Продиф-руем уравнение M=[rp] по времени: dM/dt = [dr/dt,p]+[r,dp/dt].Т.к. (•) О неподвижна, то вектор dr/dt равен скорости v

частицы, т.е. совпадает по направлению с вектором

p, поэтому: [dr/dt,p] = 0. По 2-му закону Ньютона,

dp/dt = F ; где F– равнодейств-щая всех сил, приложенных к частице. След-но: dM/dt = [rF]. То, что справа – есть момент силы F относительно

(•) О. Обозначив эту величину как N, запишем:

N=[rF]. Вектор N, как и M, яв-ся аксиальным, и его

модуль: N=lF ;где l плечо вектора F относит. (•)О.

Таким образ: dM/dt = N. Это уравнение моментов.

Из него следует, что при N0: M=const. Умножив обе части этого ур-ния на dt, получим: dM=Ndt – выражение, которое определяет элементарное при-ращение вектора M. Проинтегрировав это выр-ние

По времени, найдем приращение вектора M за ко-нечный промежуток времени t: M2M1 = ∫0^tNdt.

Величина справа – есть импульс момента силы.

Закон сохранения момента импульса. Выберем произвольную систему частиц. Момент импульса данной системы – векторная сумма моментов им-пульсов её отдельных частиц: M = ∑Mi. Продиф-ем

его по времени: dM/dt = dMi /dt. Производная dMi /dt равна моменту всех сил, действ-щих на i-ую

частицу. Представим этот момент в виде суммы мом-тов внутренних и внешних сил: Ni’+Ni. Тогда:

dM/dt = Ni +Ni. Первая сумма – суммарный момент всех внутренних сил относительно (•) О, а вторая – суммарный момент всех внешних сил.

Но суммарный момент всех внутренних сил отно-сительно любой точки равен нулю. И тогда имеем:

dM/dt = Nвнешн (*). Где: Nвнешн – суммарный момент всех внешних сил, Nвнешн=Ni. Ур-ие (*) утвержд-ет:

производная момента импульса системы по време-ни равна суммарному моменту всех внешних сил. Из (*) следует, что приращение момента импульса системы за конечный промеж. t: M2M1=∫0^tNвнешdt.

Итак, согласно (*): момент импульса системы мо-жет изменяться под дейст-ем только суммарного

момента всех внешних сил. Отсюда вытекает закон

сохран-ния момента импульса: Момент импульса

замкнутой системы частиц остается постоян-ным, т.е. не меняется со временем, причем это справедливо для момента импульса, взятого отно-сительно любой точки инерц-ной системы отсчета.

Таким образом: M =Mi­(t) = const.

Уравнение моментов в Ц-системе. Так как ур-ние (*) справедливо в любой системе отсчета, значит оно справедливо и в Ц-системе: dM̃/dt = Ñ; где Ñ – суммарный момент внешних сил в Ц-системе. Т. к.

Ц-система в общем случае неинерциальная, то в Ñ

входит помимо моментов внешних сил взаимодей-ствия и момент сил инерции. Обычно в качестве точки, относительно которой определяют момент сил Ñ берут (•) С – центр масс системы. Следов-но:

dM̃/dt = NС ; т.е. – производная по времени от собс-твенного момента импульса системы равна сум-марному моменту всех внеш-х сил взаимодействия

относительно центра масс данной системы. Если

NС ≡ 0, то M̃ = const, т.е. – собственный момент импульса системы сохраняется. В проекциях на ось Z, проходящую через центр масс системы, ур-е

имеет вид: dM̃z/dt=NСz; где NСz– суммарный момент

внешних сил взаимодействия относительно непод-вижной в Ц-системе оси Z, прох-ящей через центр

масс. И здесь, если NСz ≡ 0, то M̃z = const.

Динамика твердого тела. Движение твердого тела

определяется 2-ям векторными уравнениями. Одно из них – уравнение движения центра масс, другое – уравнение моментов в Ц-системе:

mdVC/dt = F ; dM̃/dt = NC . (**)

Условия равновесия твердого тела. Тело будет оставаться в состоянии покоя, если нет причин, вы-зывающих его движение. Согласно уравн-иям (**), для этого необх. и достаточно выполн-ие условий:

1). Результ-ющая всех внешних сил, приложенных

к телу, должна быть равной нулю: F = Fiвнешн = 0.

2). Суммарный момент внешних сил относительно любой точки должен быть = нулю: N = Niвнешн = 0.

Эти условия должны быть выпол-ны в той системе

отсчета, где тело покоится.

Вращение вокруг неподвижной оси.

Mz = Miz = (miρi^2)ωz ; где mi и ρi – масса и расс-тояние от оси вращения i-й частицы твердого тела,

ωz – его угловая скорость. Обозначим то, что в скобках через I, получим: Mz = Iωz ; где I момент инерции твердого тела относительно оси ОО’. Вы-числение момента инерции тела проводится по ф-е:

I = ∫r^2dm = ∫ρr^2dV ; где dm и dV – масса и объем

элемента тела, находящ-ося на расстоянии r от оси

Z, ρ – плотность тела в данной точке. Теорема Штейнера: момент инерции I относительно про-извольной оси Z равен моменту инерции I­C относи-тельно оси ZC , ||-ой данной и прох-щей через центр

масс С тела, плюс произведение массы m тела на квадрат расстояния а между ними: I = I­C + mа^2.

Уравнение динамики вращения твердого тела.

Продиф. Mz = Iωz по времени получим: Iβz = Nz . Где Nz – суммарный момент всех внешних сил относительно оси вращения. Из этого уравнения видно, что момент инерции I определяет инерцион-ные свойства твердого тела при вращении: при одном и том же значении момента сил Nz тело с бо’льшим моментом инерции приобретает мень-шее угловое ускорение βz .

Кинетическая энергия вращ-ся твердого тела.

K = miυ i^2/2 = (miρi^2)ω^2/2 ; или: K = ½ Iω^2 ;

ω – угловая скорость момента инерции I .
































































Случайные файлы

Файл
37758.doc
73937-1.rtf
142906.rtf
104139.rtf
129967.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.