6 вариант (6 вариант 4 дз)

Посмотреть архив целиком

Домашнее задание по технической механике.

«Колебания линейной системы с одной степенью свободы»



Вариант 6.

Жигайло Ю. ИУ7-52

МГТУ им. Н.Э. Баумана

2002г.



















Дано:

Начальные условия:

Решение.


Дифференциальное уравнение малых колебаний механической системы с одной степенью свободы имеет вид

,

где q = – обобщённая координата;

a=const >0 – обобщённый коэффициент инерции;

b=const >0 – обобщённый коэффициент линейного вязкого сопротивления;

c=const >0 – обобщённый коэффициент жёсткости;

Qв(t) – внешняя обобщённая сила возмущающего воздействия.

Составим дифференциальное уравнение движения системы, используя уравнение Лагранжа II рода.

Абсолютная скорость шара

Кинетическая энергия системы .

Обобщённую силу Q представим в виде .

Потенциальная энергия системы:

Тогда обобщённая сила от потенциальных сил, действующих на систему:

Диссипативная функция Рэлея:

Обобщённая диссипативная сила, получаемая от действия сил линейного вязкого сопротивления:

Тогда дифференциальное уравнение движения системы имеет вид:

.

Или в канонической форме:

,

где - коэффициент сопротивления;

- собственна частота свободных колебаний;

.

Имеем случай малого вязкого сопротивления:n < k. В этом случае решение может быть представлено в виде:


- условная частота;

- амплитуда вынужденных колебаний;

При заданных начальных условиях , , имеем:

Окончательный вид решения:

Относительный коэффициент сопротивления:

Добротность системы:

Период вынужденных колебаний:

.

Постоянная времени:

.

Условный период затухающих колебаний:

.

Логарифмический декремент колебаний: