Экзамен (6Обращение преобразования Лапласа)

Посмотреть архив целиком


20.4. Обращение преобразования Лапласа.


20.4.1. Формула Римана-Меллина. Если функция - изображение функции-оригинала , то может быть найдена по формуле

.

Это равенство имеет место в каждой точке, в которой непрерывна. В точках разрыва функции значение правой части равно . Интеграл в правой части формулы называют интегралом Меллина; интегрирование может вестись по любой вертикальной прямой , и интеграл понимается в смысле главного значения:

.

Вычисление оригинала по формуле Римана-Меллина довольно трудоёмко, поэтому на практике при решении задач применяют другие методы, которые рассматриваются ниже.

20.4.3. Первая теорема разложения. Если точка является нулём функции , аналитична в окрестности этой точки и разложение функции по степеням р в окрестности точки имеет вид , то функция есть изображение функции .

Это выражение получается в результате почленного перехода к оригиналам в ряде : так как , то , и .

20.4.4. Вторая теорема разложения. Пусть функция комплексной переменной р аналитична во всей плоскости, за исключением конечного числа изолированных особых точек , ,, …, , расположенных в полуплоскости . Если , и абсолютно интегрируема вдоль любой вертикальной прямой , то является изображением, и .

Док-во. Сведём интеграл в формуле Римана-Меллина к интегралу по замкнутому контуру. Контур составим из отрезка прямой , и дуги