Экзамен (5Операционное исчисление)

Посмотреть архив целиком

20. Операционное исчисление.

20.1. Определение функции-оригинала и её изображения по Лапласу.

20.1.1. Определение. Будем называть функцией-оригиналом действительнозначную или комплекснозначную функцию действительной переменной , удовлетворяющую условиям:

1. при ;

2. Существуют такие постоянные М и , что ;

3. На любом отрезке функция удовлетворяет условиям Дирихле (т.е. непрерывна или имеет конечное число устранимых разрывов и разрывов первого рода; монотонна или имеет конечное число экстремумов).

Смысл этих условий такой.

1. Так как одно из основных приложений операционного исчисления - решение задач с начальными условиями (задач Коши), то поведение функций до начального момента несущественно;

2. Параметр во втором условии принято называть показателем роста функции . Само второе условие означает, что скорость роста функции-оригинала не может быть больше экспоненциальной. В совокупности с третьим условием это обеспечивает существование и определенные полезные свойства функции-изображения и не является обременительным.


20.1.2. Определение. Изображением по Лапласу функции-оригинала (или преобразованием Лапласа функции ) называется функция комплексной переменной , определяемая равенством

.

Интеграл в правой части этого определения сходится абсолютно в любой точке , удовлетворяющей неравенству , где - произвольной число, такое, что . Действительно, (так как ) = , а интеграл сходится. Таким образом, мы доказали, что изображение определено в любой точке , такой что , т.е. в полуплоскости справа от прямой . Как следствие, показатель скорости роста оригинала число часто называют абсциссой сходимости.

Заметим, что мы доказали также, что : так как , то . Кроме того, в оценке мы мажорировали модуль подынтегральной функции функцией, не зависящей от , интеграл от которой сходится. Как и в теории степенных рядов, этого достаточно, чтобы сходимость интеграла была равномерной по переменной , поэтому функцию можно дифференцировать и интегрировать по этой переменной.

20.1.3. Изображения простейших функций.

20.1.3.1. Единичная функция Хевисайда Её изображение: , так как . Соответствие между функцией-оригиналом и изображением обозначается по-разному: знаком равенства с точками, стрелками с точками и т.д.; мы будем применять обозначения и , наиболее подходящие из имеющихся в Word’е. Итак, доказано: .

20.1.3.2.