Экзамен (3Ряды с комплексными членами)

Посмотреть архив целиком

19.3. Ряды с комплексными членами.

19.3.1. Числовые ряды с комплексными членами. Все основные определения сходимости, свойства сходящихся рядов, признаки сходимости для комплексных рядов ничем не отличаются от действительного случая.

19.3.1.1. Основные определения. Пусть дана бесконечная последовательность комплексных чисел . Действительную часть числа будем обозначать , мнимую - (т.е. .

Числовой ряд - запись вида .

Частичные суммы ряда:

Определение. Если существует предел S последовательности частичных сумм ряда при , являющийся собственным комплексным числом, то говорят, что ряд сходится; число S называют суммой ряда и пишут или .

Найдём действительные и мнимые части частичных сумм: , где символами и обозначены действительная и мнимая части частичной суммы. Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходятся последовательности, составленные из её действительной и мнимой частей. Таким образом, ряд с комплексными членами сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды, образованные его действительной и мнимой частями.

19.3.1.2. Абсолютная сходимость.

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из абсолютных величин его членов.

Так же, как и для числовых действительных рядов с произвольными членами, можно доказать, что если сходится ряд , то обязательно сходится ряд . Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.

Ряд - ряд с неотрицательными членами, поэтому для исследования его сходимости можно применять все известные признаки ( от теорем сравнения до интегрального признака Коши).

19.1.3.4. Свойства сходящихся рядов. Для сходящихся рядов c комплексными членами справедливы все свойства рядов с действительными членами:

Необходимый признак сходимости ряда. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю при .

Если сходится ряд , то сходится любой его остаток, Обратно, если сходится какой-нибудь остаток ряда, то сходится и сам ряд.

Если ряд сходится, то сумма его остатка после n-го члена стремится к нулю при .

Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число с, то сходимость ряда сохранится, а сумма умножится на с.

Сходящиеся ряды (А) и (В) можно почленно складывать и вычитать; полученный ряд тоже будет сходиться, и его сумма равна .

Если члены сходящегося ряда сгруппировать произвольным образом и составить новый ряд из сумм членов в каждой паре круглых скобок, то этот новый ряд тоже будет сходиться, и его сумма будет равна сумме исходного ряда.

Если ряд сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов сходимость сохраняется и сумма не изменяется.

Если ряды (А) и (В) сходятся абсолютно к своим сумма и , то их произведение при произвольном порядке членов тоже сходится абсолютно, и его сумма равна .

19.3.2. Степенные комплексные ряды.

Определение. Степенным рядом с комплексными членами называется ряд вида ,

г
де
- постоянные комплексные числа (коэффициенты ряда), - фиксированное комплексное число (центр круга сходимости). Для любого численного значения z ряд превращается в числовой ряд с комплексными членами, сходящийся или расходящийся. Если ряд сходится в точке z, то эта точка называется точкой сходимости ряда. Степенной ряд имеет по меньшей мере одну точку сходимости - точку . Совокупность точек сходимости называется областью сходимости ряда.

Как и для степенного ряда с действительными членами, все содержательные сведения о степенном ряде содержатся в теореме Абеля.

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , то

  1. он абсолютно сходится в любой точке круга ;

  2. Если этот ряд расходится в точке , то он расходится в любой точке z, удовлетворяющей неравенству (т.е. находящейся дальше от точки , чем ).

Доказательство дословно повторяет доказательство раздела 18.2.4.2. Теорема Абеля для ряда с действительными членами.

Из теоремы Абеля следует существование такого неотрицательного действительного числа R, что ряд абсолютно сходится в любой внутренней точке круга радиуса R с центром в точке , и расходится в любой точке вне этого круга. Число R называется радиусом сходимости, круг - кругом сходимости. В точках границы этого круга - окружности радиуса R с центром в точке - ряд может и сходиться, и расходиться. В этих точках ряд из модулей имеет вид . Возможны такие случаи:

1. Ряд сходится. В этом случае в любой точке окружности ряд сходится абсолютно.

2. Ряд расходится, но его общий член