Билет №23

1. Поверхностный интеграл 1го рода: определение и механический смысл. Пример

Определение поверхностного интеграла первого рода. Пусть в пространстве переменных x,y,z задана кусочно-гладкая поверхность , на которой определена функция f(x,y,z). Разобьём поверхность на частей , на каждой из частей выберем произвольную точку , найдём и площадь части (которую будем обозначать тем же символом ), и составим интегральную сумму . Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения поверхности на части , ни от выбора точек , то функция f(x,y,z) называется интегрируемой по поверхности , а значение этого предела наз поверхностным интегралом первого рода, или поверхностным интегралом по площади поверхности, и обозначается .

Механические и физические приложения поверхностного интеграла 1-го рода.

Масса поверхности. Пусть на поверхности распределена масса с поверхностной плотностью (x,y,z). Тогда масса m поверхности равна

m = .

Статические моменты и центр масс. Статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей OYZ, OXZ, OXY равны соответственно

Координаты центра масс поверхности равны xc = , yc = , zc = .

Моменты инерции. Момент инерции поверхности относительно прямой L равен IL=, где =rL(x,y,z) - расстояние от точки (x,y,z), лежащей на поверхности , до прямой L. В частности, моменты инерции отн координатных осей OX, OY, OZ равны

.

Момент инерции относительно точки P(x0,y0,z0) равен

Момент инерции отн начала координат равен
































Билет №24

1 Вычисление поверхностного интеграла 1го рода в декартовой системе координат. Опр-ие единичного вектора нормали к пов-ти. Выражения для элемента площади поверхности. Пусть пов-ть задаётся неявным уравнением ( - непрерывно дифференцируемая функция) и взаимно однозначно проецируется в область на плоскости Оху. Из теории функций нескольких переменных известно, что градиент функции ортогонален поверхности уровня этой функции, проходящей через точку, в которой найден градиент. Рассматривая уравнение как уравнение поверхности уровня функции трёх переменных , получаем, что в каждой точке поверхности ортогонален . Чтобы получить единичный нормальный вектор, достаточно просто пронормировать : , где знак перед дробью соответствует возможности выбора двух возможных взаимно противоположных направлений нормали. В координатной форме , где