Билет №8

Свойства тройного интеграла

Линейность. Если функции f(x,yz), g(x/y/z) интегрируемы по области V, то их линейная комбинация тоже интегрируема по D, и .

16.2.2.2. Аддитивность. Если область V является объединением двух областей V1 и V2, не имеющих общих внутренних точек, то .

Теорема о среднем. Если функция непрерывна на области V, то существует точка , такая что .

Теорема о среднем для двойного. Если функция непрерывна на области D, то существует точка , такая что .

Док-во. Непрерывная на ограниченной замкнутой области D функция принимает в некоторых точках этой области своё минимальное m и максимальное M значения. Т.к. , то или . Непрерывная функция принимает, кроме того, любое значение, заключённое между m и M, в частности, значение . => , откуда и следует доказываемое утверждение.



























































Билет №9

Теорема о замена переменных в тройном интеграле. Пусть в пространстве Ouvw задана область G, и пусть отображение преобразует эту область в область V пространства Oxyz. Будем считать, что отображение F задаётся функциями . Пусть: 1). F взаимно однозначно отображает G на V; 2). Функции x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w) непрерывно дифференцируемы на G (имеют непрерывные частные производные); 3). Якобиан не обращается в нуль на G. Тогда .

Тройной интеграл в цилиндрических координатах. В этой координатной системе положение точки в пространстве характеризуется тремя числами: r, и z, где r и - полярные координаты проекции M1

точки М на плоскость Оху, z - аппликата точки M. Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым:

Вычислим якобиан этого преобразования: .


Найти объём V общей части двух шаров, ограниченных сферами

Пересечение сфер находится на уровне и представляет собой круг радиуса . Объём V ограничен сверху поверхностью , снизу - поверхностью . В цилиндр координатах объём V ограничен сверху поверхностью , снизу - поверхностью ,

.












































Билет №10

Тройной интеграл в сферических координатах. В этих координатах положение точки M в пространстве характеризуется тремя числами: r, и , где r - длина радиуса-вектора точки M, - полярный угол проекции M1 точки М на плоскость Оху, - угол между радиусом-вектором точки M и осью Oz. Формулы перехода от сферических координат к декартовым:

Вычислим якобиан этого преобразования: