Билет №7

1. Дать определение тройного интеграла и т.д.

Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения области V на подобласти , ни от выбора точек , то функция называется интегрируемой по области V, а значение этого предела называется тройным интегралом от функции по области V и обозначается .

Если расписать значение через координаты точки , и представить как , получим другое обозначение тройного интеграла: . Итак, кратко, .

Теорема существования тройного интеграла. Если подынтегральная функция непрерывна на области V, то она интегрируема по этой области.

Механические приложения тройного интеграла. Пусть V - тело в пространстве, в котором задано распределение объёмной плотности массы (,, где G - область, содержащая точку Р, - масса этой области, - её объём). Механические приложения двойного интеграла, Масса тела ;

координаты центра тяжести, ,

моменты инерции отн пл-ти Oxz, (относительно оси Ox), (относительно начала координат).














































Билет №15

1. Криволинейный интеграл 1ого рода.

Пусть в пространстве переменных x,y,z задана кусочно-гладкая кривая , на которой определена функция f(x,y,z). Разобьём кривую точками на частей, на каждой из дуг выберем произвольную точку , найдём и длину дуги , и составим интегральную сумму . Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения кривой на дуги , ни от выбора точек , то функция f(x,y,z) называется интегрируемой по кривой L, а значение этого предела называется криволинейным интегралом первого рода, или криволинейным интегралом по длине дуги от функции f(x,y,z) по кривой L, и обозначается (или ).

Теорема существования. Если функция f(x,y,z) непрерывна на кусочно-гладкой кривой L, то она интегрируема по этой кривой.

Случай замкнутой кривой. В этом случае в качестве начальной и конечной точки можно взять произвольную точку кривой. Замкнутую кривую в дальнейшем будем называть контуром и обозначать буквой С. То, что кривая, по которой вычисляется интеграл, замкнута, принято обозначать кружочком на знаке интеграла: