Шпоры (Билеты 11-14)

Посмотреть архив целиком

Билет №11

Механические приложения тройного интеграла. Пусть V - тело в пространстве, в котором задано распределение объёмной плотности массы (,, где G - область, содержащая точку Р, - масса этой области, - её объём). Вывод следующих формул полностью аналогичен выводу для двумерного случая (раздел 16.1.7.4. Механические приложения двойного интеграла), поэтому просто перечислим их.

Масса тела; коорд центра тяжести

моменты инерции отн пл-ти Oxz (отн оси Ox), (относительно начала координат).

Примеры. 1. Найти координаты центра тяжести половины шара радиуса R, если плотность пропорциональна расстоянию от центра шара.

Решение. Если ввести координатную систему так, как показано

на рисунке, то ; вычисления ведём, естественно, в сферических координатах:

; , аналогично (что, впрочем, очевидно и без вычислений); .























































Билет №12

Несобственные интералы.

При рассмотрении определённых интегралов мы предполагали, что область интегрирования ограничена (более конкретно, является отрезком [a,b] ); для существования определённого интеграла необходима ограниченность подынтегральной функции на [a,b].

Опр несобственного интеграла 1 рода. Пусть функция f(x) определена на полуоси и интегрируема по любому отрезку [a,b], принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла при называется несобственным интегралом функции f(x) от a до и обозначается . Т.е. . Если этот предел существует и конечен, интеграл называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся.

Примеры: 1. ; этот предел не существует; следовательно, исследуемый интеграл расходится.










































































Билет №14

несобственные интегралы 2 рода

Особенность на левом конце промежутка интегрирования. Пусть функция f(x) определена на полуинтервале (a, b], интегрируема по любому отрезку , и имеет бесконечный предел при . Несобственным интегралом от f(x) по отрезку называется предел . Если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, говорят, что интеграл расходится. Примеры:

1. - интеграл расходится;

Особенность на правом конце промежутка интегрирования. Пусть функция f(x) определена на полуинтервале [a, b), интегрируема по любому отрезку , и имеет бесконечный предел при . Несобственным интегралом от f(x) по отрезку [a, b] называется предел . Если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, говорят, что интеграл расходится.

Особенность во внутренней точке промежутка интегрирования. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b], имеет бесконечный предел при стремлении аргумента к какой-либо внутренней точке c этого отрезка: